Heilt på kanten - del 4. Nok unøyaktigheit!

OK, så fann vi arealet litt unøyaktig, men når ein såg at koordinatane for hjørna i "putekvadratet" var noko med 1.41... så kan ein jo tenkje at dette vel må gå an å finne eksakt! Men om vi skal utføre denne integrasjonen eksakt så må vi og ha eksakte koordinatar for F og G (sjå figuren under).

Vi treng altså likninga for kurva som går gjennom G og F. No har vi jo konstruert denne som ein parabel så vi veit det må bli ei andregradskurve. La oss seie brennpunktet E har koordinatar \((p,q)\). Og styringslinja er \(y=r\).  Den generelle andregradskurva er gitt ved formelen 

\[y=a(x-h)^2+k\]

Vi ønskjer altså å finne a, h og k. Her er \((h,k)\) toppunktet til parabelen. Vi veit at dette toppunktet er halvvegs mellom styringslinja og brennpunktet. Da må y-koordinaten til toppunktet vera \(\frac{q+r}{2}\). Dette gir at \(h = p\) og \(k =\frac{q+r}{2}\). Vi kan bruke våre eksakte verdiar uten å tape generalitet i denne oppgåva. I vårt tilfelle er \(h=p=0\) og \(y=r=2\). Da blir \(k=\frac{3}{2}\). 

Når vi har konstruert parabelen slik vi har gjort ser vi at (1,1) må vera eit punkt på parabelen, da det ligg like langt frå E som C. 

Da blir likninga til slutt \[y=a(x-h)^2+k=a(x-0)^2+\frac{3}{2}=ax^2+\frac{3}{2}\].

Sett vi inn \((x,y)=(1,1)\) i likninga får vi at \(1=a+\frac{3}{2}\), slik at \(a=-\frac{1}{2}\). Likninga for parabelen blir:

 \[y=-\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{3}{2}.\]

Men korleis finn vi koordinatane til F og G, det er jo der vi skal integrere mellom? Pytagoras gir oss at \(EC=\sqrt 2\). Vi får at \(EC+\sqrt(2)\cdot EC=\sqrt(2)\). Slik får vi at F har koordinatane \((\sqrt(2)-1, \sqrt 2)\). Symmetri gir at \(G=((1-\sqrt 2, \sqrt 2)\).  Då kan vi integrere for å finne det blå arealet i figuren over: 

\[\int_{1-\sqrt 2}^{\sqrt 2-1} \frac{-1}{2}x^2+\frac{3}{2} \,dx=\frac{4}{3}\sqrt 2-\frac{2}{3}\approx 1.22.\]

Dette er altså det blå arealet på figuren. Arealet av rektangelet KLFG (sjå figur nedanfor) blir \( (\sqrt 2 -1 - (1-\sqrt 2 ))\cdot \sqrt 2 = 4-2\cdot \sqrt 2\). Arealet avgrensa av buen mellom F og G og linja gjennom F og G blir da  \[\frac{4}{3}\sqrt 2 -\frac{2}{3}-4-2\sqrt 2=\frac{10\cdot \sqrt 2}{3}-\frac{14}{3}\approx 0.047.\]

For å finne det endelege arealet treng vi fire av desse, samt kvadratet \( (2\cdot \sqrt 2 -2)^2=12-8\cdot \sqrt 2\). Totalt blir det altså: 

\[ 4\cdot (\frac{10\sqrt 2}{3}-\frac{14}{3})+12-8\cdot \sqrt 2 = \frac{16\cdot \sqrt 2}{3}-\frac{20}{3} \approx 0.88\].

Og så til slutt må vi sjå kor stor andel dette utgjer av kvadratet på 4, som blir \[\frac{16\cdot \sqrt 2}{12}-\frac{20}{12}\approx 0.22.\]

Sjå figuren for å sjå dei forskjellige areala.

Algebraen ovanfor er ikkje spesielt vanskeleg, men om ein ikkje gidd gjere alle kvadreringane kan ein bruke til dømes GeoGebra sitt CAS-verktøy for å finne desse forenklingane av uttrykka. Svaret vi har fått gjeld generelt, det er alltid ca. 22 prosent av punkta i eit kvadrat som ligg nærmare sentrum enn kanten, men vi har vore litt sleipe når vi valde kor kvadratet er teikna hen. Ein kunne sikkert gjort det enda enklare for seg sjølv med å vald eit kvadrat der AB går frå 0 til 1 på x-aksen eller liknande.

Så kan vi jo legge til den litt meir direkte metoden for å finne likninga for ein parabel. I til dømes matematikkemnet 3MX fram reform 94 var dette eit kjend tema. Eit av resultata derifrå var at 

Ein parabel med toppunkt i origo og \((0,\frac{p}{2})\) som brennpunkt har likninga \[x^2 =2py\].

Ein slik parabel har \(y=-\frac{p}{2}\) som styringslinje. I vårt høve er situasjonen at toppunktet ligg på (0, 3/2).  Flytter vi heile oppgåva vår ned 3/2, får vi altså situasjonen beskrevet i definisjonen. Parabalen får da toppunkt på (0,0), brennpunktet blir (0,-1/2), slik at p=-1. Likninga er \(x^2 = 2py\) slik a vi får \(y = -\frac{1}{4} x^2\). Men så må vi flytte opp 3/2 så likninga til slutt blir \[y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}.\]

Heilt på kanten, del 3 - Parabel som geometrisk stad

No har vi kasta tusenvis av punkt på kvadratet og sett at det er omlag 22 % som ligg nærmare sentrum enn sidekantane. Samlinga av punkt som ligg nærmare midta, altså avgrensninga desse samlar seg inni har form av ei slags pute, eller eit kvadrat som har svulma opp litt på sidene. Sjå på figuren her, kor Scratchprosjektet har begynt å teikne opp denne avgrensninga.

For å løyse denne oppgåva må ein finne eksakt det arealet som blir avgrensa av desse fire buane. På grunn av symmetrien i oppgåva så er det jo nok å finne likninga for den eine av desse buane, og så arealet under den. Så kan ein finne arealet av heile pute-kvadratet ved å gange opp og trekke fra - når ein kjem så langt. Denne kurva minner om ein parabel, og ein slik definerast ut frå ei linje og eit punkt. Ein parabel er dei punkta som ligg like langt frå ei styringslinje som frå eit brennpunkt, og ein slik kan vi lage ganske lett i GeoGebra.

     

Her har vi eit punkt F som er fokus/brennpunkt i parabelen, og styrelinja (directrix på engelsk) er x-aksen. Vi lager eit punkt A på x-aksen, dette skal vi bruke til å teikne parabelen for forskjellige x-verdiar. Ved å lage ein midtnormal m mellom F og A vil vi få den samlinga av punkt som ligg like langt frå F som frå A. Men for å måle ein avstand frå x-aksen må vi i tillegg lage ein normal n i A. Da vil skjæringspunktet mellom denne normalen n og den konstruerte midtnormalen m gi oss eit punkt P som ligg like langt frå x-aksen (målt gjennom normalen) som til F (på grunn av midtnormalen). Dreg du i A så ser du at parabelen teiknas. Parabelen er eit av kjeglesnitta, på grunn av at ein kan skjære gjennom ei kjegle og få akkurat denne kurven i skjæringsflaten. 

Den fasongen som denne geometriøvinga framskaffar har mange interessante eigenskapar. M.a. blir den bruka som fasong på parabolantenne, på grunn av eigenskapen at alle linjer (signal) som treffer antenna blir reflektert inn i brennpunktet. Her sitter hodet på parabolantenna og samlar signala. 

Men tilbake til problemet vårt. La oss teikna eit kvadrat i GeoGebra og gjenskape konstruksjonen av parabelen slik at det passer til oppgåva vår. GeoGebra har ein innebygd parabel-konstruksjonsknapp, der ein kan velgje brennpunkt og styringslinje. På biletet under har eg valgt E (midt i kvadratet) som brennpunkt og så laget to kurver der henholdsvis linja y=2 og x=1 er styringslinjer.

Vi kan gjera tilsvarande på venstre side av kvadratet og, slik at vi får definert det øvre området vi skal finne. 

Om vi no ved integrasjon finn arealet under den øvre buen, frå G til F, så vil vi kunne finne heile arealet ved å legge saman å trekke frå. Vi skriv inn kommandoen Integral(c, x(G), x(F)) for å integrere under kurven c frå G til F. Vi må ha med x'ene i x(G) og x(F) for å vise at det er langs x-aksen vi integrerer.

Som vi ser er arealet 1.22. No er det fleire måtar å gjera ferdig oppgåva på, avhengig av kva koordinatar vi har på kvadratets hjørner, men andelen det indre arealet til slutt utgjer skal bli den same uansett. Vi finn ikkje ei eksakt løysing på denne måten uansett, så vi fortset med desimaltal. Ein måte er å dele det blå arealet i to, med ei linje mellom G og F. Det nederste vil da vera eit rektangel med hjørner vi finn i GeoGebra til å vera \((-0.41, 0), (0.41, 0), (-0.41, 1.41)\) og \((0.41, 1.41)\). Arealet av dette rektangelet blir \(0.82 \cdot 1.41 = 1.1562\). Den øvre delen avgrenset av buen mellom G og F og linja gjennom G og F vil ha arealet 1.22 - 1.1562 = 0.0638. I putekvadratet har vi fire slike, totalt 0.2552. I tillegg treng vi arealet av kvadratet i midten. Bredden av dette veit vi er 0.82, så arealet av dette kvadratet blir 0.6724. Totalt blir altså putearealet 0.9276 når vi legg samman. 

Vi skulle jo ha andelen dette arealet utgjer av heile det store kvadratet, som har areal 4. Da får vi til slutt \(\frac{0.9726}{4} = 0.2319\). Eller ca. 23.2 %. Her har vi rundet av nokre verdiar undervegs. Det er til dømes nærliggjande å tru at 1.41 har med kvadratrota av 2 å gjera, slik at vi allereie i starten er litt unøyaktige. La oss sjå om GeoGebra gir oss eit litt meir nøyaktig svar: 

GeoGebra oppgir at heile arealet under buen GF er 1.219. Vidare er arealet av kvadraret GIHF oppgitt til 0.6863. Arealet av rektangelet KLHI er 0.483. Her kan vi finne det søkte arealet som \(4\cdot (1.219 - 0.6863-0.4853) + 0.6863 = 0.8759\). Andelen blir så \(\frac{0.8759}{4} = 21.9 %\). 

Konklusjonen blir at 21.9 % av arealet av eit kvadrat ligg nærmare sentrum i kvadratet enn kanten. 

Inne eller ute?

I helga var det full runde i Eliteserien i fotball for menn, og oppgjeret eg fulgte var Mjøndalen - Molde (naturleg nok). Molde hadde ein ball i mål - meinte dei - men likevel ende det 0-0. Vi hadde nok kunne avslørt denne type problematikk om vi hadde mållinjeteknologi i Noreg. Og det kunne vi jo ha hatt UTAN å ha brukt VAR i sin heile og fulle bredde. 

Men så var det spørsmålet om korvidt ballen var inne eller ikkje. På TV-bileta kunne det unekteleg sjå slik ut og Moldespelarane som var i nærheiten var sikre i si sak. Like sikre var nok Mjøndalenspelarane og, på at den IKKJE var inne. Linjedommar stod langt unna og dommaren hadde nesten ei umuleg oppgåve i å fatte rett avgjerd. 

Det er fort gjort å klage på dommaren, men om vi lagar oss ein tilsvarande modell av situasjonen i GeoGebra 3D så ser vi kor vanskeleg oppgåva til dommaren er! Sjå her: 

 https://www.geogebra.org/m/tenqf2q6

Slik går no dagan med nettundervisning

I matematikk 2, emne 2 (5-10) har vi jobba med statistikk og sannsyn i vår. Når undervisninga no vart lagt online nesten heile semesteret vart det stort behov for å lage noko undervisningsmateriale som ein kan bruke over nett. Det er fint å kunne lage nokre lysbilete og prate om dem, men korleis får ein aktivert studentane der dei sitt på kvar sin hybel eller heime hjå far? Eg har prøvd å tatt i bruk nokre verktøy som i og for seg har vore mykje brukt i undervisninga, men som no kan sjåast i eit litt anna perspektiv. Ei førebels liste over kva platformar eg har bruka:

1.  GeoGebra
   Ein kjem ikkje unna at GeoGebra er eit av dei viktigaste verktøya for ein lærar å beherske. Der eg tidlegare har gitt studentar lenke til GeoGebra-filer har eg no prøvd å lage aktivitetar via GeoGebra Classroom. Slik får ein og innsikt i om det vi driv med er heilt skivebom eller treffer sånn høveleg. 
2. Scratch
   I statistikk og sannsyn-semesteret har det vore viktige å kunne gjere nokre simuleringar og slikt. Scratch er ikkje fantastisk godt eigna til dette, men det er da ein del mulegheitar. Vi hadde inkludert programmering for første gong i eit fag på lærarutdanninga i år, der Scratch og Python-trinket, som dei to no vanlegaste platformane i skulen (trur eg). På Scratch laga vi fleire av dei aktivitetane som vi har lese om i pensum. Eg laga dei fleste sjølv, men vi brukte og nokre døme frå statistikken for å lage relevante prosjekt i opplæringa av Scratch. 
3. desmos
   Eg har alltid vore litt imponert over dei innebygde desmosaktivitetane som ein kan finne på teacher.desmos.com. Her er det muleg for studentane å delta slik at eg som lærar får god oversikt både over kva dei svarar og kor langt dei har kome. 
4. trinket.io
   Det er ikkje så lett å drive programmering over nett (sjølv om ein skulle tru at det var det perfekte tema for nettundervisning). Trinket er ein web-basert python-variant som har fungeret prikkfritt for oss. Ein må vere litt klar over skilnaden mellom å drive med python 2.7 eller 3.0 (ein kan til dømes ikkje lage histogram i 2.7 på trinket). Og for 3.0 må ein betale eit abonnement for å bruke trinket. Ein kan sjølvsagt laste ned python frå python.org og bruke siste versjon heilt gratis, men da mistar ein den oversikta ein som lærar har over at studentane sitt med omtrent same skjermbilete.

Eg har nemnt alle desse på bloggen før, men skal i dei neste innlegga sjå på korleis eg brukte desse over nett.

Vinklar

Her er nokre trikantar som heng saman i eit hjørne. Linene som går gjennom punktet C er alle rette. Kva er summen av vinklane som er teikna inn? (Og den eigentlege oppgåva er sjølvsagt om du kan forklare kvifor det blir slik)

Ein ulikskap

Areal og areal

Om du sett eit kvadrat inni eit anna kvadrat så vil arealet av det indre kvadratet endre seg avhengig av kor hjørnene havnar hen. Det kan du sjå på den første figuren under. Du ser nok og at det går an å finne ein største og minste verdi for dette indre kvadratet. Men vil det vere same forhold mellom dei to figurane om ein i staden brukar likesida trekantar? Klarar du å sete opp ei hypotese her? Det neste spørsmålet er sjølvsagt om det blir eit system av dette om ein i neste omgang ser på femkantar (pentagon) og sekskantar (hexagon).

Huzzah!

Flaggteoremet

Det kan skrivast tusenvis av bøker om Pytagorassetninga. Nokon har sikkert gjort det og. Ein kan utvide dette teoremet i hytt og vær. Fleire dimensjonar, fleire kantar, kuber og mangekantar og eg veit ikkje kva. Eit anna trekantteorem er Vivianis teorem som eg og har skrive litt om. Flaggteoremet er eit teorem som kan likne ganske mykje på begge disse. Her er det eit rektangel med eit punkt inni, og ein undersøker areal av kvadrata ein kan sete på linestykkja som forbind punktet med hjørna i rektangelet (puh!). At det har ei forbinding til flagg skyldast berre at figuren ein får, når ein i tillegg tek med linestykkje ein treng i beviset for teoremet, minner om det britiske flagget. Under kan du prøve litt sjøl, men det er litt knotete å sete inn heile animasjoner i ein bloggpost som denne. Om du ønsker litt meir fleksibelt format kan du finne arbeidsarket for GeoGebra her: https://ggbm.at/gppn47hZ. Der er det og ei lenke til bevis for setninga.

Nesten Napoleon

Skumleskatten

Har overhodet ingen planer om å begynne med regelmessig blogging, det får gå som det går i år også. Men skulle man ha noe å meddele folk om matematikk, undervisning, læring og undervisning er det jo greit å fortsatt ha et sted (med håpløs adresse) å legge det ut.

Så her er iallfall en litt morsom oppgave om å finne en skatt! Oppgaven blir å ta informasjonen i skattejakten og "oversette" den til GeoGebraisk!

http://www.geogebra.org/m/2393315

(og nå ble jeg usikker, skrives det "overhodet" eller "over hodet" eller "overhode"?)

Betinget og animert

Noen digitale ressurser

På masterkurset "Modellering og IKT" ved HiST sin 5-10 lærerutdanning har studentene hatt som et av oppdragene sine å analysere et digitalt verktøy. Oppgaven gikk ut på å ikke ta for seg de aller mest vanlige verktøyene, men lete litt etter noen som var litt mer ukjente. De laget noen rapporter og anmeldelser av disse og de ligger nå på http://digimat.hist.no . Ta gjerne en titt - noen av verktøyene de prøvde er kanskje ukjent for deg også?

Litt mer Desmos

Selv om GeoGebra nok er programmet jeg tyr til for alt i geometri og algebra, så har jeg blitt litt misfornøyd med at det som var et program hvem som helst kom i gang med nå blir mer og mer komplekst. Jeg vet mange foretrakk GeoGebra foran TI-nspire nettopp på grunn av dette. Kanskje kan det være greit å se at det fins alternativer, iallfall om det bare skal noe småtteri til. Ei nettside som har høy popularitet i USA er Desmos, og selv om denne sida i bunn og grunn er en graftegner har den noen egenskaper som er verdt å merke seg. Blant annet hvordan man lager glidere for parametre. Se her:

Desmos gir deg et noenlunde standard grafvindu som du kan gjøre vanlige ting med (skalere, flytte osv).

På menyen øverst til venstre kan du legge til ting, f.eks. funksjoner (som du skal tegne grafen til) eller bilder og tekst. Bilder og tekst kan være nyttig om du skal lage grafen PÅ et bilde, for eksempel.

La oss sette inn det vanlige uttrykket for en lineær funksjon. Når vi skriver y=ax+b så ser vi at det dukker opp noen knapper under mens vi skriver:

Det betyr at vi kan lage glidere for disse parametrene bare ved å klikke på knappene det står a og b på. (Eller "all" for å lage glidere for alt på en gang.)

Grafen til funksjonen tegnes med en gang - glidebryterne settes inn automatisk. Så lett er det å lage et interaktivt arbeidsark til å undersøke stigningstall og konstantledd med.
Du kan også klikke på tannhjulet til høyre for å se at du kan velge intervall på gliderne og farge på grafen.

GeoGebra var kjempelett på slike ting før (og er det fortsatt), men lurer på om ikke dette var enda enklere! 

Når GeoGebra-filene eller SMART Notebook-filene plutselig heter .zip...

Dette problemet oppstår innimellom (selv om det forekom oftere før), og jeg vet ikke helt hvorfor. Det ser ut til at mange som bruker Internet Explorer har dette problemet: når de laster ned ei GeoGebra-fil eller ei SMART Notebook-fil fra nettet så døper Windows/Explorer de automatisk om, og dette kan skje uten at du vet det, hvis du har en datamaskin som IKKE viser etternavnet til filene. Etternavnet er altså det som kommer etter punktum og som forteller hvilken filtype vi har med å gjøre. Word-filer heter f.eks. .doc eller .docx, men hvis det er merket av for "skjul filetternavn" i Windows så ser du ikke dette. Problemet oppstår altså når Windows da i hemmelighet døper om dine nedlastede filer slik at de får etternavnet .zip. De skal hete henholdsvis .ggb (I GeoGebra) og .notebook (I SMART Notebook). Når dette skjer fører det til at GeoGebra-filer og SMART Notebook-filer blir tolket som om de hører til f.eks. WinZip eller WinRar, slik at de åpnes der i stedet for i det programmet de egentlig hører hjemme i. Det er ikke så vanskelig å fikse dette, men problemet er altså at mange _har_ valgt å skjule disse filetternavnene (windows gjør det som standard) og dermed ser man gjerne ikke hva feilen er når man prøver å åpne ei fil i GeoGebra eller SMART-programmer. Personlig synes jeg det er en god idé å vise disse etternavnene. Da er det lett å f.eks. se om ei Word-fil har .docx-formatet eller .doc-formatet.
Slik viser du filetternavnene og endrer de så de kan åpnes (bildene under er fra Windows 7):

Først må vi endre innstillingen som i Windows er satt til å skjule etternavnene. Gå først inn i ei mappe og velg organiser:

 

Velg Organiser og Mappe- og søkealternativer

 

Velg fanen "Vis" og fjern markeringen for
"Skjul filetternavn for kjente filtyper". Trykk OK

 

Høyreklikk på fila du har lastet ned og velg "Gi nytt navn"

 

Slett endelsen .zip og skriv inn .ggb (eller .notebook hvis det er det du driver med) i stedet.

 

Pass på at fila har fått det nye filetternavnet og det nye ikonet.

Hvis ikonet har endret seg, har det sikkert gått bra! :)

Referart

Litt flaut å innrømme, men her forleden prøvde jeg Google Scholar for første gang. Da oppdaget jeg plutselig at jeg var referert i et nummer av tangenten, men der poenget var at annen artikkel jeg hadde skrevet (sammen med Anders Sanne) inneholdt feil. Og selv om det ikke er så gøy å gjøre feil, så er det bra at det man skriver blir lest og at feil blir fanget opp, det er jo eneste måten man kommer seg videre på! I dette tilfellet var det at jeg kom i skade for å omtale TI-nspire som et CAS-program, og det er det jo slett ikke. Så da er det bare å legge seg flat og beklage den. Litt flaut, da jeg selv både har brukt og holdt kurs i TI-nspire, og utmerket godt vet at det har flere komponenter enn bare CAS. TI-nspire har forsåvidt blitt et veldig flott program. Jeg var ikke så begeistret i starten, og på et møte der vi satt sammen med utviklere fra Texas Instruments husker jeg at det neimen ikke var lett å engang ønske seg hvordan et slikt program skulle være. Denne tidlige versjonen av TI-nspire ble ikke særlig brukervennlig og jeg var litt skuffet etter å ha brukt TI Interactive! i mange år (Skulle forresten ønske de hadde oppdatert TI interactive! i stedet!). Jeg gikk etter hvert over til å bruke GeoGebra i undervisningen. Både fordi det var gratis og fordi det var enkelt å komme i gang.
Nå har jeg imidlertid blitt litt bekymret for om det kan bli for mange ting å forholde seg til i GeoGebra. Der det i 2004 bare var dynamisk geometri og grafer finner vi nå også CAS, regneark og kanskje snart 3D og mer til. Nettbrettversjoner kommer også (er allerede kommet, men vil nok raskt forbedres), og jeg synes ikke nettbrettene er så godt egnet til å jobbe med matematikk som det en datamaskin er. Det er når det kreves et minimum av presisjon at pølsefingre på 7-tommers skjerm blir for vanskelig. Får håpe de gjør mine ord til skamme i neste versjon!
Du kan forresten laste ned hele det omtalte nummeret av tangenten her: http://www.caspar.no/tangenten/2010/t-2010-2.pdf . Der kan du lese Anders Øverbyes presentasjon av TI-nspire.

Men dette ga meg jo en liten piff til å se hva mer Google Scholar kunne avsløre. Høydepunktet er så langt å bli referert til i en artikkel på Springer forlag! :) Når jeg ser hvor gøy dette var, så må det enten skyldes at jeg publiserer for lite eller publiserer for dårlig...

Presentasjon på Realfagskonferansen 2013

Det har muligens begrenset interesse, men var du på Realfagskonferansen på NTNU 02.05 så har du lysarkene her.
Innlegget handlet om forslagene til endret eksamen for tiende trinn og VGP (Arne Amdal hadde tilsvarende sesjon om programfagene).
Nå er det langt fra sikkert at eksamensordningene blir slik som i forslaget som har vært på høring, men enn så lenge er det det jeg har forholdt meg til denne gangen.

Fargeleggingsbok

Jeg har laget en del fargeleggingsbilder til minstepia innimellom. Ikke rare greiene, bare noen roser og polare grafer på GeoGebra, som hun synes det er morsomt å fargelegge. Se for eksempel på http://mattegreier.blogspot.no/2012/10/pen-pendel.html for et eksempel på hvordan GeoGebra kan brukes til å lage flotte mønstre! På lulu.com kan du laste ned gratis ei hel bok av liknende art, laget av en for meg ukjent type ved navn Marshall Hampton. Gå til
http://www.lulu.com/shop/marshall-hampton/a-mathematical-coloring-book/ebook/product-17416592.html for å hente boka (du kan også kjøpe den i papirformat der).

I dag kom jeg imidlertid over noen som tok den enda et skritt videre, ved å lage den første open source fargeleggingsboka for å lære om elektronikk (Du vet, Ohms lov og alt det der). Sjekk den ut på http://adafruit.com/coloringbook.

Kickstarter: GeoGebra for iPad

Jeg la igjen en liten slant hos denne gjengen her, som samler inn penger til å lage GeoGebra for iPad. Målet om 10000 USD er allerede nådd, så her kan det også bli Android-versjon (og det skulle jo bare mangle! :)

Surf videre til http://www.kickstarter.com/projects/geogebra/geogebra-for-the-ipad for å donere en tjuelapp eller noe sånt for å få disse prosjektene til å bli en realitet!

Pen pendel

Trykk Ctrl+F for å viske sporene...