Heilt på kanten, del 1 - Monte Carlo

 Ei uskyldig lita oppgåve dukka opp ein dag:

Altså:

Kor stor del av eit kvadrat ligg nærare sentrum enn kanten?

Oppgåva kom frå nettsida mathigon.org, som ofte sender ut slike oppgåver på sosiale media. Mathigon er eigentleg ei interaktiv side som gjer det mogleg å bruke forskjellige digitale versjonar av konkretiseringsmateriale, veldig godt eigna for digital fjernundervisning. Denne oppgåva kan løysast eksakt eller tilnærma/numerisk. Det er jo freistande å berre stoppe der ("I think I'll stop there!"), men eg tenkte å lage eit forslag til løysing her så om du vil prøva sjølv så er det iallfall her du må stoppe lesinga. 

Simulering

Først ville eg sjå korleis dette området eigentleg såg ut. Ein velkjend "brute force"-metode er Monte Carlo-metoden. Det vil seie at ein bruker gjentatte tilfeldige eksperiment (stokastiske forsøk) til å simulere utfall for å kunne estimere noko numerisk. Du har kanskje sett korleis ein kan bruke ein slik måte til å estimere pi med. La oss ta det først. 

I Scratch-prosjektet over blir det "kasta ei mengd med prikkar på skjermen". Prikkane som havnar innafor ein gitt sirkel får ei farge (lilla) og dei som havnar utanfor får ei anna farge (grøn). Når ein kastar svært mange prikkar på skjermen vil talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikker totalt bli meir og meir likt andelen sirkelarealet utgjer av heile kvadratet. Ved å køyre simulatoren over så ser du at ein så kan bruke dette til å estimere \(\pi\). 

For å klårgjere det litt meir: Ein kan gjere det litt lettare ved å tenkje seg sirkelen med radius 1. Då vil kvadratet rundt ha areal 4, medan sirkelen vil ha areal \(\pi\). Talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikkar totalt vil gi eit estimatet på forholdet pi/4. Eit estimat for pi vil da bli \(\frac{4 \cdot \text{talet på prikkar inni}}{\text{prikkar totalt}}\). Ved å la simulatoren gå ei stund ser du korleis dette vil nærma seg \(\pi\approx 3.14\) etter kvart.

I neste innlegg skal vi sjå på korleis vi kan bruke Monte Carlo-metoden til å få innblikk i det opprinnelege problemet vi skal løyse.

Pi på ukulele

Inspirasjon til pi-dagen... http://ukulelehunt.com/2013/03/14/pi-for-ukulele-tab/

Pi motbevist!

Ja, jeg vet ikke helt hva det vil si å bevise eller motbevise pi, men så vet jeg heller ikke hva som menes helt med gjennombruddet det skrives om i en artikkel i siste Heimdalsbladet (hjemmesida er ikke spesielt oppdatert eller innholdsrik, så dere finner ikke artikkelen pr. nå). Det er sikkert ikke lov å skanne inn og legge ut artikkelen heller, til tross for at avisa er gratis, men en faksimile - som det så fint heter - er vel innenfor lovens grenser.

Faksimile fra Heimdalsbladet, utgitt 25.10.12

I denne artikkelen skrives det om en en dame som nylig har utgitt bok. Du kan lese om boka her: http://www.edenshave.net/Fullf-re-mesterverket.html. Blant mye - MYE - innhold finner vi også at

Ingen har tidligere fått Pi til å gå opp, det har vi gjort gjennom et komplett nytt regnesystem.

Dette er såpass banebrytende at jeg synes det er verdt en liten post på en matematikkblogg. La gå med at det ikke gir mening å si at pi "ikke går opp". (Det blir som å si at sju ikke går opp. Men det kommer vel _litt_ an hva det skal gå opp i...?) Vi får heller anta at det hun mener er at pi ikke kan skrives som brøk, eller ikke har et endelig antall desimaler. Altså at vi ikke kan bruke våre tall til å skrive "hele" pi. Lambert beviste at pi er et irrasjonelt tall i 1770, et bevis som senere ble publisert i "Elements de Geometrie" av Adrien-Marie Legendre (sjekk bildet av han på Wikipedia - han ser virkelig bøs ut!). Det vil si at han beviste at pi, i likhet med kvadratrota av 2 og uendelig mange andre tall, ikke kan skrives som en brøk med hele tall i teller og nevner. Så vi har altså muligens i et kvart årtusen gått rundt og tatt feil, skal man tro Heimdalsbladet!

Det ville være av største interesse om dette kunne formidles til den vitenskaplige verden, så vi får vente i spenning på fortsettelsen!
Skulle du få lyst til å lese mer om folk som har jobbet med pi, eller som har latet som de har jobbet med pi, så kan du se på den norske Wikipedia-sida. Et sitat jeg syntes var litt morsomt var følgende fra forskning.no:

Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk pi, som var nøyaktig 3.125.

 Videre inne på nettsiden finner vi følgende:

"Man har nu en størrelse, der gaar under det populære navn "Haandværker-Cirkelen", til hvilken der ikke anvendes mere end de to første decimaler av PI = 3.14 , og naar der her er benyttet en PI = 3.14375, er dette egentlig ikke for at det strengt tatt behøves at benytte mer end 2 decimaler, men fordi man jo helst bør paavise en rimelig opprindelse for tallet.

Hvis noen er i tvil: Boka ble gitt ut på eget forlag.

Pi-dagen!

Vår forrige bil slet med dette med å finne pi:

Vi ser jo til og med at 14.20 var et ganske dårlig forsøk. Men det var jo egentlig unødvendig, ettersom det var så mange som hadde funnet denne verdien fra før. I dag er det faktisk pi-dagen! Gratulerer alle sammen! Dagen går selvsagt ikke upåaktet hen, og jeg minnes mitt første år som lærer da elevene stilte i slips og/eller kjole denne dagen. Du kan lese utfyllende artikkel i Wikipedia, eller gå inn på den offisielle (?) hjemmesida til pi-dagen. Det fins mange bøker og nettsteder om pi, en av de morsomste bøkene er The Joy of Pi, som også har et flott nettsted. Den norske boka Matematikkens krydderhylle har også et stort kaPIttel om jubilanten. 

Dette nettstedet er på dansk, og har også en mengde trivia om pi. Må i tillegg ta med denne fra en av de mest brukte forfatterene i hovedoppgaven min, Tom W. Körner; http://plus.maths.org/content/what-area-circle.

Har du sett Requiem for a dream? Kanskje ikke like kjent og grandios er filmen denne regissøren laget før denne klassikeren. Det er nemlig en film som heter (du gjetter det nok..) "pi", og som handler om en som går litt fra forstanden over å finne mønstre i aksjemarkedet ut fra desimalene i pi. Se trailer her: http://www.youtube.com/watch?v=zQYYGwYTPuY

Youtube er full av andre pi-filmer, og andre videotilbydere har også sin andel: http://www.qwiki.com/q/#!/Pi_Day , http://www.collegehumor.com/video:1948828 er noen eksempler.

Det er mange merkelige steder pi dukker opp, jeg går ut fra at det skyldes sirkelen. Pi er som kjent definert som forholdet mellom omkrets og diameter av en sirkel, og sirkelen står historisk sett som en ganske "perfekt" form. Blant de rare måtene å finne verdien for pi på finner vi blant annet pilkast på sirkelskive og Buffons nåleeksperiment.

Et tidligere innlegg om pi fikk denne siden som kommentar: http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/ 

Da er det bare å glede seg til PI approximation day... mmm....pi...

Eksamensoppgave i geometri

Denne oppgaven ble gitt på siste eksamen i matematikk for allmennlærerstudenter. Det som er fint med denne er at det er uhorvelig mange måter å løse den på!

I kvadratet ABCD er det innskrevet en sirkel med sentrum O, og i sirkelen er det igjen innskrevet et kvadrat EGHF. Vi kaller sidekanten i EGHF for s.

a. Forklar hvorfor vinkel HFC er 45^○.

b. Vis at arealet av EGHF er akkurat halvparten av arealet av ABCD.c. Finn arealet av sirkelen uttrykt ved s.

d. La M betegne området innenfor ABCD og utenfor sirkelen. La videre T betegne området innenfor sirkelen og utenfor EGHF. Hva har størst areal av M og T?

e. Hvordan kan du som lærer bruke figuren over i arbeidet med tallet pi?

Gratulerer med pi-dagen!

I dag har ikke pi bursdag, men vi feirer alikevel. Jeg skal ikke forklare hvorfor - de som vet hva pi-dagen er skjønner det, og de som ikke vet det, bør klare å finne det ut! :)
Her kan dere iallfall lese hva NRK har å si om den store dagen...

Åja, gratulerer med dagen til Torgrim og Einstein også!