H.C. Andersen

Kanskje du ikkje visste at H. C. Andersen (1805-1875) var begeistret for Pytagoras-setninga? Han har til og med skrive eit bevis for setninga, rettare sagt, gjenfortalt Eukilds bevis frå Elementa, der dette er Proposisjon 47 i bok I. Diktet heiter Formens evige Magie og har undertittelen Et poetisk Spilfægteri (1831).

Formens evige Magie

Et poetisk spillfægteri
Om Kageformen, eller selve Kagen
Er Hovedsagen,
I denne Verden, gaae Vi her forbi.
Jeg bringer - (ja, jeg kommer til det samme)
Jeg bringer nemlig her en lille Ramme
Til hvad Jeg skrev og kaldte Poesi.
Og muligvis faar Rammen mest Værdi,
Thi den har "Formens evige Magi",
Og den kan stikke Hjertets Poesi.
Han, som til Dato vragede hvert Stykke,
Jeg bragte frem (fordi deri var Skygge),
Maaske hos ham min Ramme gør sin Lykke,
Thi jeg skal trænge den i Formen ind;
Jeg vil den seie Prosa-Lyng oprykke,
Og, kort sagt - lave Suppe på en Pind.
Hvad der er mest mod Poesien bister,
Geometriens yndede Magister
Mathetos, jeg her på Bladet rister;
See saa! Pas paa Enhver!

Trianglen ABC er givet her,
Retvinklet og paa Siderne Quadrater;
Beviset er om nu de to Kateter
AC, BC (jeg nævner disse Steder)
Er just i Eet og Alt, som den Krabat,
Hypothenusen kalder sit Quadrat.
Nu gaae vi da til vore Præparater.
En lodret Linie maa man som De veed
Her drage til den større Side ned,
Og saa forlænge den til K,
Da vil man finde, ei det mindste mangler,
AB-Quadraten ganske rigtig staae
Delt (som AK, BK) i to Rektangler.
(Thi tvende rette Linier, man veed,
Har just det generelle,
Naar de to en tredje de staae lodret' ned
Saa er' de ogsaa ganske paralelle.)
Nu drages een fra A til G, fra C til I, 
Og da Præparationen er forbi.
Ei sandt, o Mester! True dog ei med Riset!
Nu gaae vi til Beviset.
Vi har de to Triangler ABG
Og CBI, hos dem er Vinklen p
Lig Vinklen o, men o er lig en ret,
Ja, der er Ingen, som vil nægte det,
Thi rette Vinkler er der i Quadrater,
Nu Vinklen r lig Vinklen r. Ei sandt?
(Thi sund Fornuft kan sige,
Hver Størrelse jo med sig selv er lige.) 
Saaledes p plus r lig o plus r man fandt,
(Her i Figuren staae de smaa Krabater.)
Naar lige nu til begge bliver lagt,
En lige Sum er da tilveiebragt.
(Nu er vi med Beviset snart forbi,
Det stærkt mod Enden lider.)
See Vinklen ABG lig CBI,
ABN er lig  BI, BG er lig BC
(I en Quadrat er lige store Sider,
Derfor, saa sandt som Tre gjør' altid Tre,
To Sider og en Vinkel vil os lette),
Trianglen ABG vi her tør sætte
Lig CBI (og det er intet Træf)
Nu ABG er lig en halv BK
Pas paa!
Nu CBI er lig en halv BF
(Husk: lige stort for lige stort kan gaae.)
Eens er Divisor, eens er Dividenden;
Eens bliver altså ogsaa Quotienten,
Og ad den samme Vei vi faae:
AD er lig AK.
Der har du Maaden,
Snart som Pythagoras man løser Gaaden.

Ja løst, beviist - Du store Trylleri!
Du Himmel tak - at det nu er forbi!
Thi slige Vers er ikke Narreri;
De løber vel, som der var intet i - 
Dog her var jo Fornuft og Form-Magi 

(Det sidste vil jeg haabe,
Og i denne Form er i det mindste fri
For hvad der dæmper slemt hver Melodi:
En Mudderdraabe.)
Fornuft og Form har her skabt - Poesi.
Her seer man 'Formens evige Magie.'

(Kjelde: Tangenten 3/1999 og MAT B1 STX (iBog) - Grundbog til Matematik på stx B-niveau)

(Foto: (eget) H.C. Andersen i Central Park, New York)

Oppjazzet Pytagoras

Pytagoreikerne var opptatt av musikk, hadde hemmelige symboler og rare leveregler å forholde seg til. Mer eller mindre en slags kult som diskuterte farlige ideer verden ikke måtte få vite om. Så hvorfor ikke kombinere et bevis for Pytagorassetningen med litt klassisk musikk? :) (via Matematikkdidaktikk-gruppa på facebook)

Proofs without word - redux

En gang hadde jeg et innlegg på Novemberkonferansen der jeg nevnte sjangeren "Proofs without words", eller "bevis uten ord". Dette er en spesiell måte å bevise ting på i matematikk, der man lar en figur tale for seg. Har også laget noen slike ordløse bevis i GeoGebra og PowerPoint. Poenget er likevel at man er nødt til å tenke ganske grundig gjennom disse påstandene for å forstå de. En fin måte å jobbe med det er å la elever eller studenter to og to (neppe fler) snakke om det som skjer på bildene eller GGB/PPT-filene.

Det fins  flere bøker om slike ordløse bevis, og to av dem er skrevet av Roger B. Nelsen og kan kjøpes for en rimelig penge på f.eks. Amazon.com.

Dette beviset er hentet fra en samling jeg oppdaget på Mathoverflow.net. Her skal man vise at

\( 1+2+3+ \dots +(n-1)=\binom{n} {2} \)

Symbolet \( \binom{n} {2} \) betyr "antall måter vi kan velge ut 2 av en mengde med n objekter på" (Uten å legge tilbake de vi velger, og uten å bry oss om at det er viktig hva som blir trukket først og sist). 

Hvordan kan vi bruke animasjonen over til å se at påstanden er riktig?

Her er enda flere animasjonsforklaringer:
21 GIF-animasjoner som forklarer matematiske sammenhenger.

En bråte animasjoner fra Wikipedia

Visually stunning math concepts which are easy to explain

Film: Proof (2005)

Fikk endelig somlet meg til å se denne som hadde ligget på PVR'n en stund. Det dreier seg altså om et drama der en matematiker nettopp har avgått ved døden og datteren strever med å rydde opp i restene...

Bilde fra imdb.com

Anthony Hopkins er en matematiker som har vært overjordisk dyktig, og i løpet av filmen avdekkes også at datteren har et talent for matematikk. Hopkins karakter skal ha vært veldig nær et enormt bevis, og det hintes om at det er et "stort resultat om primtall". Kanskje det dreier seg om Goldenbachs formodning? Og mye av filmen dreier seg rundt hvorvidt faren faktisk har bevist dette eller ikke, om han klarte å jobbe matematisk gjennom alvorlig sinnslidelser og om datteren har bidratt på begge områdene... Skal ikke si mer om selve plottet, siden det er litt vanskelig å ikke avsløre noe. Datteren spilles av Gwyneth Paltrow og en matematiker som det er fullstendig opplagt det skal bli noe kjærlighetstgreier med, spilles av Jake Gyllenhaal. Kvalitet der i gården, altså.

Det som gjorde denne filmen til litt mer enn vanlig interessant for min del er tankene karakterene har rundt matematikk. Ikke et fnugg av matematikk blir vist, men dialogene de har rundt det tyder på at det er gjort research i forkant av manusskrivingen. Mye av det de snakker om vil være svært velkjent for matematikere, og sannsynligvis litt absurd å forholde seg til for ikke-matematikere. Matematikere fremstilles ofte stereotypisk i filmer, og også her går det i at de må være litt gærne for å vie livet sitt til stringent argumentasjon om det abstrakte, men tross alt er det gode og dype karakterer vi får se i denne filmen, om enn litt triste.

En spesielt fornøyelig scene er et likvake der matematikerne må omgår teoretisk-fysikere med store mengder alkohol tilgjengelig. Bandet som ankommer litt tilfeldig for denne kvelden har en låt kalt "i" på programmet - den består av tre minutters stillhet...

Anbefaler deg å se denne filmen, og spesielt om du har sans for matematikk!

Se trailer på http://www.cinemagia.ro/trailer/proof-dovada-701/

Les mer om filmen på http://www.imdb.com/title/tt0377107/

Fordypning: Se flere filmer om gode, men litt avsporede matematikere i A beautiful mind (2001) og Pi (1998).

Utforskning med rektangel del 2.

Her kan du undersøke hvor mange ruter diagonalen går gjennom på de forskjellige størrelsene av rektangeler. Oppgaven er fortsatt: Kan du finne sammenhengen mellom størrelsene på sidene i rektangelet og antallet ruter som diagonalen skjærer gjennom? This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Øistein Gjøvik, Laget med GeoGebra

Klassiker: Thales setning

Thales setning er ganske godt kjent, og må regnes som en klassiker innenfor den klassiske geometrien. Setningen sier ganske greit at et punkt C på en halvsirkel fra A til B vil lage en rettvinklet trekant ABC uansett hvor C ligger på halvsirkelen.
I bunn og grunn er dette rare greier - at ikke dette punktet C's plassering skal ha noe å si for hva slags trekant det blir! Flytt litt rundt på C på figuren under, så ser du at trekanten hele tiden blir rettvinklet. Men hvorfor er det slik?
Ser du f.eks. på Wikipedia, så vil du se at det vanlige beviset er forholdsvis "skriftlig" og kanskje ikke umiddelbart enkelt for alle elever. I den glimrende boka Mathematician's Lament av Paul Lockheart forteller forfatteren imidlertid om en elev i ungdomsskolen som lager et helt fint argument med ord og bilder. Og da slik at ideen blir det viktige.
Trykk på "trinn 1" nedenfor, så ser du at eleven har rotert trekanten 180 grader. Det dannes da et rektangel. Det er altså IKKE et "skjevt" parallellogram, ettersom (trykk på "trinn 2") begge diagonalene er diametre i sirkelen. Ettersom det er et rektangel er vinkelene rette, og Thales setning følger.

Hva er lærerens oppgave når eleven jobber med formelle/uformelle bevis som dette? Jo, for eksempel å påpeke at det ikke er innlysende at diagonalene i parallellogrammet er diametre i sirkelen. Eleven responderte da (trykk på "trinn 3") at - jo, siden trekanten er rotert en halv omdreining så ender tuppen akkurat på andre siden, og dermed i nøyaktig motsatt posisjon av hvor den startet.

Denne lille sekvensen fra boka illustrerer så veldig godt hvordan vi i mange skolebøker og undervisningssekvenser dreper alle motivasjon, lærelyst og kreativitet. Hvorfor heller ikke fremelske slike løsninger som denne eleven kommer med? Det spiller ingen rolle at det ikke er stringent korrekt, formelt riktig eller bruker de riktige ord og notasjoner - eleven har sett et mønster, en egenskap - ja, en IDE, og det er akkurat det matematikk handler om.



This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Proofs without words - Novemberkonferansen 2009

Litt sent, men, men. Her er presentasjonen jeg hadde om bevisføring i GeoGebra. Poenget mitt her er at det ikke nødvendigvis fører til sterkere begrepsdanning og bedre argumentasjon ved at man "beviser" og illustrer med dynamisk programvare. Eksemplene i presentasjonen viser at det kan slå ut begge veier, etter min mening. Noen av bildene er hentet fra boka Proofs without words, av Nelsen, og også et bilde er frekt hentet fra mathworld.com.

Proofs without words / Bevis med bilder

View more presentations from Øistein Gjøvik.

Finn feilen i beviset!

På Spot the math errors! - Skulls in the Stars kan man finne en post om tre berømte bevis som tilsynelatende strider mot fornuften. Det ene innebærer den imaginære enheten i, så den kan vi droppe foreløpig, men de andre kan jo være aktuelle å prøve å finne feilen i.
Den første er kanskje mest kjent, og viser at 2 tydeligvis er det samme som 1. Hvor er feilen? Den andre viser at pi er 3, noe man også kan sjekke ved å lese Bibelen, men hvorfor i granskauen bruker vi 3,14 som en tilnærmingsverdi da? Hvor er feilen? (Og som svar kommer jeg ikke til å godkjenne "Det stod i Heimdalsbladet at noen hadde motbevist pi".)