Nok en Android kalkulator

Men de er flotte og ofte morsomme og litt nyskapende, disse kalkulatorappene for Android. Dagens bidrag er denne: http://www.appbrain.com/app/calculator-plus-free/com.digitalchemy.calculator.freedecimal

cos x = x

Likninga \(\cos(x) = x\) er ikke så lett å løse på vanlig vis, men ganske enkel om man gjør det grafisk: Tegn grafene til \(y=cos(x)\) og \(y=x\) og se hvor de krysser hverandre.

Likninga kan også løses slik: Slå inn et gjett på kalkulatoren, f.eks. 2. Trykk cosinus-knappen. Fortsett og trykk på cosinusknappen helt til displayet stabiliserer seg på et tall. Hvorfor blir dette tallet løsninga på \(\cos{x}=x\) ? Ekstraoppgave: Hvorfor virker ikke dette for \(\sin{x}=x\) ?

Konvensjoner og konversasjoner

Etter en morsom diskusjon på twitter, initiert av @msdeckard og @hitthebutton, ble jeg sittende og fundere litt på spørsmålet som dukket opp.

Spørsmålet er en klassiker fra nettet, og lyder "Hva er svaret på 6:2(1+2) ?"

Bruk først noen sekunder på å regne ut dette selv.

Bortsett fra noen svært sære måter å bruke assosiativet og distribusjon på- som gir svaret 7 (!) - så er det to svar man ender opp med på denne oppgaven, 1 eller 9.

De fleste er skjønt enige om at man skal legge sammen 1 og 2 inni parentesen først. Regnestykket blir da 6:2(3). Så kommer problemet. Skal man dele 6 på 2 først, slik at det står 3*3, som blir 9? Eller skal man ta 2(3) først, slik at det står 6:6, som blir 1?

 Det verserer flere argumenterer for de to forskjellige løsningene. Det som er vanligst å lære på høyere utdanning er at det "ser ut som om 2(1+2) skal være i nevneren, slik at svaret blir 1, men vi kan ikke være sikre uten å spørre den som lagde spørsmålet". Et ikke helt tilfredsstillende svar - er det virkelig slik at man ikke skal kunne regne ut dette uten å spørre hva som egentlig er ment? Det å se at 2(1+2) skal regnes ut før man deler 6 på dette, kalles en del steder juxtaposition eller grouping, og påstanden er at grupperinger har høyere prioritet enn ganging og deling. Noen entydig definisjon på dette er ikke lett å finne.

I grunnskolen har man lært en mengde prioriteringsregler, og spesielt i amerikansk skole har man lært forkortelser som BODMAS, PEMDAS (Power, exponentiation, division, multiplication, addition, subtraction) (eller Please excuse my aunt Sally (hva nå hun har gjort)) eller andre varianter. Altså at divisjon eller multiplikasjon skal gjøres før den andre. Nå er det imidlertid slik at multiplikasjon og divisjon er sidestilt og det å lage en regel som sier at den ene skal gjøres før den andre vil føre til at de som ikke har denne konvensjonen vil få forskjellige svar. Sannsynligvis er det at M står før D helt tilfeldig, og at det ikke skal tolkes som at multiplikasjon konsekvent skal gjøres før divisjon. Dette er nok også årsaken til at så mange synes hele dette spillet med huskregler er noe tull.

En annen variant er altså om man tenker slik jeg gjorde, nemlig det vi lærte på grunnfaget om at 2(1+2) ser ut til å høre sammen og sannsynligvis er tenkt å være i nevneren. 

En helt annen måte å tenke på (eller rettere sagt, slippe å tenke) er å velge å gjøre likeverdige operasjoner fra venstre mot høyre. Noen programmeringsspråk har implentert denne måten å håndtere prioriteringer på, mens andre, f.eks. APL velger å ikke bruke venstre-mot-høyre-regelen. Etter å ha sjekket litt rundt på nettet finner jeg flere indikasjoner på at man prøver å la venstre-mot-høyre-regelen være den mest gjeldende. Dr. math hevder at begge løsningene i tvetydigheten er riktige, men at konvensjonen han føler er riktig er å gå fra venstre mot høyre. Dette vil da gi at man først tar 6:2, slik at svaret blir 3*3=9. Den mest pålitelige kilden jeg har funnet på dette er imidlertid Norsk matematikkleksikon, der venstre-mot-høyre-regelen blir nevnt ved navn. Hvorfor prøver man å dytte gjennom denne regelen? Ikke så lett å si, men min mening er at den i det minste er mer presis (om enn mer meningsløs) enn å se på hva som hører sammen.

Hvor kommer denne tvetydigheten fra? Jeg vil gjette på at man før kalkulatorens tid aldri skrev brøker lineært, men man brukte teller, nevner og brøkstrek, med 6 i telleren, 2 i nevneren og så plasserte man (1+2) over eller under brøkstreken alt etter som. Det er tross alt det som er poenget her, om denne parentesen skal stå i teller eller nevner.

Et av bildene som verserer på nettet. To CASIO
-kalkulatorer, men forskjellige tolkninger. Hentet
fra 9gag.com

Vi har den samme tvetydigheten med f.eks. 1/2x. Intuisjonen min og konvensjonen fra matematikkstudiet er å tolke dette som 1/(2x). En test i google viser at søkemeteren så tegner grafen til 0.5x, altså at tolkningen er (1/2)x. En artig detalj i denne sammenheng er at Texas Instruments ofte brukte dette eksemplet for å vise at man MÅ bruke parenteser i slike uttrykk. På et tidspunkt (her mangler jeg kilde) skal riktignok TI ha skiftet tolkning i sine kalkulatorer, slik at 1/2x før ble tolket som 1/(2x), men nå blir tolket som (1/2)x. Hva dette skyldes kan vi bare gjette oss til, men kanskje var det mange studenter som skrev 1/2x og mente (1/2)x?

For å ytterligere se hvor vanskelig denne distinksjonen er, kan du google 1/2 pi og 1/2*pi. Du vil få forskjellige svar, noe som viser at Google bruker forskjellige konvensjoner. I noen programmer skilles det også mellom om man skriver * eller et mellomrom.

Et siste element jeg har oppdaget er at man leser mer i notasjonen enn hva som er mulig. For eksempel sier mange at 6:2*(1+2) vil gi 9, mens 6:2(1+2) vil gi 1, da fjerningen av gangetegnet gir oss implisitt multiplikasjon som skal gjøres før divisjonen (grouping) (Samme problemet som ved googling av 1/2 pi). Andre igjen sier at hvis man skriver 6/2(1+2) så er det tydelig at 2(1+2) skal i nevneren, mens på 6:2(1+2)  er det kun (1+2) som skal i nevneren. Oh well. En annen ting å merke seg med notasjonen er at hvis man tolker 2(1+2) som FUNKSJONEN "to ganget med", så skal den prioriteres før divisjonen, men jeg kan ikke finne noe sted at det er lov å kalle en funksjon et tall (jeg er iallfall nesten helt sikker på at det ikke er lov i noe som helst programmeringsspråk).

Uansett hvor man leter på nettet finner man en kontrovers, der det ser ut til at en del mener svaret er 1, en litt større del mener svaret er 9 og de aller fleste i tillegg mener man kan unngå problemet ved å skrive spørsmålet ordentlig. Jeg vil tippe de få kildene jeg har funnet indikerer at venstre-mot-høyre-regelen vil være den mest fornuftige å holde seg til selv om intuisjonen min sliter med å omstille seg fra det vi lærte på studiet. Det er tross alt ikke matematikken det er noe feil eller tvetydig med, men vår måte å skrive ned matematikken på. Vi finner samme problem med a/b/c/d (som ofte skal tolkes (a/b) / (c/d)), og i eksponentiering, som a^b^c.

Finner dere ytterligere kilder på disse tingene er det supert om de postes i kommentarfeltet! En autoritet på nettet, Dr. Math har litt forskjellige poster om dette, f.eks. at saken fortsattes er under debatt/utvikling, eller "you may be old-fashioned, or you may be on the cutting edge".

Spiked math har også latt seg more med denne problematikken.

Om grafisk lommeregner

Muligens er begrepet "lommeregner" litt tøysete, siden de færreste har dem i lommen, og de færreste får plass i lommen, men det er iallfall et godt norsk ord!

Jeg har tidligere vært ivrig bruker av Texas Instruments sine lommeregnere, spesielt likte jeg godt TI-83 (nå TI-84) og brukte de en del som lærer. Jeg hadde til og med roboten som du ser på bildet til høyre, som kunne programmeres ved hjelp av TI-83/4.
Jeg syntes også jeg kunne se at elever som hadde CASIO hadde en litt vanskeligere vei mot forståelsen enn de som brukte TI. Sharp har jeg intet inntrykk av, og HP var vel mest noe man brukte på universitetet som nerdestudent :) Omvendt polsk notasjon var riktignok litt artig.

En periode var TI-83 tilgjengelig som Android app, men denne var sannsynligvis ikke lovlig, og ble fjernet fra markedet så, vidt jeg kan se.

Etter å ha brukt TI noen år, kom etter hvert dataprogrammene sterkere og sterkere. Det har vel eksistert pedagogisk programvare i 30-40 år, men mitt første møte var Graf-X-Pert, som min tidligere lærer Jostein Våge hadde laget, og Excel. I tur og orden ballet det på seg med Cabri, Calc, TIs CAS-kalkulatorer, TI-nspire, GeoNeXt og til slutt GeoGebra. Etter at GeoGebra kom i versjon med regneark har jeg egentlig aldri hatt bruk for noe annet. I løpet av året eller neste år kommer også GeoGebra med en CAS-modul, så det er det liksom ikke behov for noe annet. En 3D-versjon, en mobil-versjon, en SMARTboard-versjon, en barneversjon... alt er på gang...

Jeg savner kalkulatoren litt, selv om jeg ikke bruker den så ofte lenger. Det jeg husker godt med min egen undervisning var at det ofte var lange sekvenser der elevene måtte gjenta trykk som jeg gjorde. Kalkulatoren var lite brukt som et verktøy, men mye brukt som en slags mekanisk algoritme for å finne svarene på f.eks. to likninger med to ukjente, andregradslikninger eller graftegning. Jeg er altså ganske misfornøyd med hvordan jeg selv lot det stå til - selv om elevene var veldig fornøyde med å ha en maskin som ga dem svarene bare de slo inn ting i rett rekkefølge.

Jeg fikk aldri helt draget på CAS, hverken på datamaskin eller kalkulator. CAS er nå nevnt i læreplanen og må forventes inn på eksamen om kort tid. Nå er det wxMaxima som er det mest brukte CAS-programmet etter mitt skjønn, men kalkulatorene og GeoGebra følger hakk i hæl.

Det mest kritiske punkt rundt kalkulatorer og datamaskin er nok hva skoler har og hva de legger opp til eksamen. Elever som tar fag som privatist kan risikere å komme på eksamen og ikke få bruke datamaskinene sine, til tross for at det står i læreplanen at det er en sentral del av faget. Det går sannsynligvis noen år til, men jeg tror ikke det blir mange, før kalkulatoren blir sett på som unødvendig å bruke tusen kroner på i Norge. En meningsfelle finner du f.eks. her: http://gotaas.blogspot.com/2011/05/verkty-i-matematikkundervisningen.html 

Men leser du artikkelen på lenka under så ser du at det er harde krefter for det motsatte, spesielt i andre land.

http://wildaboutmath.com/2011/08/08/why-the-graphing-calculator-still-matters-in-an-ipad-world