Heilt på kanten, del 1 - Monte Carlo

 Ei uskyldig lita oppgåve dukka opp ein dag:

Altså:

Kor stor del av eit kvadrat ligg nærare sentrum enn kanten?

Oppgåva kom frå nettsida mathigon.org, som ofte sender ut slike oppgåver på sosiale media. Mathigon er eigentleg ei interaktiv side som gjer det mogleg å bruke forskjellige digitale versjonar av konkretiseringsmateriale, veldig godt eigna for digital fjernundervisning. Denne oppgåva kan løysast eksakt eller tilnærma/numerisk. Det er jo freistande å berre stoppe der ("I think I'll stop there!"), men eg tenkte å lage eit forslag til løysing her så om du vil prøva sjølv så er det iallfall her du må stoppe lesinga. 

Simulering

Først ville eg sjå korleis dette området eigentleg såg ut. Ein velkjend "brute force"-metode er Monte Carlo-metoden. Det vil seie at ein bruker gjentatte tilfeldige eksperiment (stokastiske forsøk) til å simulere utfall for å kunne estimere noko numerisk. Du har kanskje sett korleis ein kan bruke ein slik måte til å estimere pi med. La oss ta det først. 

I Scratch-prosjektet over blir det "kasta ei mengd med prikkar på skjermen". Prikkane som havnar innafor ein gitt sirkel får ei farge (lilla) og dei som havnar utanfor får ei anna farge (grøn). Når ein kastar svært mange prikkar på skjermen vil talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikker totalt bli meir og meir likt andelen sirkelarealet utgjer av heile kvadratet. Ved å køyre simulatoren over så ser du at ein så kan bruke dette til å estimere \(\pi\). 

For å klårgjere det litt meir: Ein kan gjere det litt lettare ved å tenkje seg sirkelen med radius 1. Då vil kvadratet rundt ha areal 4, medan sirkelen vil ha areal \(\pi\). Talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikkar totalt vil gi eit estimatet på forholdet pi/4. Eit estimat for pi vil da bli \(\frac{4 \cdot \text{talet på prikkar inni}}{\text{prikkar totalt}}\). Ved å la simulatoren gå ei stund ser du korleis dette vil nærma seg \(\pi\approx 3.14\) etter kvart.

I neste innlegg skal vi sjå på korleis vi kan bruke Monte Carlo-metoden til å få innblikk i det opprinnelege problemet vi skal løyse.