Glidetaljer

Hurra - det fins et program som lar matematikklærere og elever lage dynamiske glidebrytere i geometrikonstruksjoner! Ikke bare det, det er gratis, og enkelt å bruke. Jeg snakker selvsagt om GeoGebra, som jeg har skrevet om mange ganger på bloggen. Denne gangen en nærmere titt på smådetaljene omkring GeoGebras glidebrytere. (Glidere, "glaidere", "slaiders"...kjært barn og navn osv). De interaktive appletene nedenfor er laget i GeoGebra og lastet opp til GeoGebra upload manager. Hos meg virker de perfekt i Internet Explorer og Chrome, men ikke i Firefox, til tross for alle oppdateringer. Fint om dere gir tilbakemeldinger i kommentarfeltet på om de funker eller ikke for dere.
Vi ser først på de tradisjonelle gliderne. Her har jeg lagt inn grafen til en generell førstegradsfunksjon (også kalt lineær funksjon), der stigningstallet er a og konstantleddet er b. (I amerikanske bøker brukes ofte andre bokstaver, m og b er mye brukt). Ved å dra gliderne kalt a og b til venstre eller høyre, ser man at det grafiske bildet av funksjonen endres dynamisk. Dette gir oss allerede nå en god innsikt om hvordan parametrene a og b påvirker grafen til en lineær funksjon. For tjue år siden var det vanlig å tegne mange utgaver av slike grafer for å "overbevise seg selv" om hvordan parametrene påvirket grafen. Ti år senere ble det vanlig å bruke grafregnere til å gjøre dette. Fremdeles måtte man tegne mange eksempler for å få en følelse av den visuelle tendensen. Nå kan bruke dynamisk programvare både for å slippe å tegne for hånd (langtekkelig) og for å slippe å tegne mange (unødvendig).



Vi kan imidlertid gjøre dette litt annerledes. Vi observerer at b flytter grafen opp og ned, og innser det vil gi en mer visuell representasjon å bytte ut den horisontale glideren b med en vertikal:


Vi ser at dette gir en nærere kobling mellom det aktiviteten uttrykker visuelt og det som skal læres. Vi tenker enda litt mer og finner ut at vi også kan lage en glider som representerer a på en mer intuitiv måte, nemlig ved sirkulære glidebrytere. Her kommer GeoGebras innebygde glidere til kort, og vi må selv lage en glider. For å få til det tegner vi en sirkel, med et punkt som kan flyttes rundt på sirkelen. Vi finner a som forholdet mellom vertikal delt på horisontal lengde av komponentene til vinkelen vi drar rundt - de som er farget blå og rød på figuren. (Det er også verdt å merke seg at dersom sirkelen hadde vært enhetssirkelen ville den blå streken tilsvare sinus til vinkelen og den rød streken tilsvare cosinus til vinkelen. Når vi i tillegg vet at sinus delt på cosinus er lik tangens, så ser vi at stigningstall også kan forstås som tangens til vinkelen linja danner med x-aksen. Stigningstallet kan faktisk også kalles vinkelkoeffisienten til ei linje):

På et SMARTboard vil for eksempel denne endringen av en enkel aktivitet gi et poeng ved at elevene får bruke flere sanser og motoriske bevegelser som ligger nærmere stigningstallet enn hva man gjorde ved den horisontale glideren.
Vi nærmer oss nå spørsmålet, trenger vi gliderne i det hele tatt, kan vi ikke bare manipulere funksjonsbildene direkte?


Vi observerer at vi ikke får laget alle mulige lineære funksjoner på denne måten. Så til slutt kan vi også sette sirkelen fast i konstantleddet for å ytterligere en vri på problemstillingen - og som i prinsippet vil kunne generaliseres så alle lineære funksjoner kan tegnes: