06 august, 2010

Alle trekanter er likebeinte!

Denne oppgaven husker jeg at jeg fikk på et fagdidaktisk kurs i matematikk for en del år tilbake. Den ligger ute på hundrevis av nettsider, men er såpass finurlig at den fortjener noen ord likevel. Jeg presenterer bare teoremet med (delvis) bevis i dag, og løsningen på paradokset kommer ved en senere anledning :)

Jeg bruker beviset fra http://www.jimloy.com/geometry/every.htm, men oversetter det for den som ikke ønsker å fordype seg i utenlandsk matematikk... :)

Beviset stammer visstnok fra W.W. Rouse Ball (1892).

Påstand: Alle trekanter er likebeinte.

Bevis:
Tegn en (nesten) tilfeldig trekant ABC, der du passer på at AC>BC. Jeg ønsker å vise at likevel er AC=BC. Konstruer først vinkelhalveringslinjen til vinkel C og tegn midtnormalen på AB. Midtnormalen halverer AB i punktet D. Vinkelhalveringslinjen til C og midtnormalen på AB kan ikke være den samme linjen (da er trekanten opplagt likebeint) så da krysser de hverandre i et punkt E. Dette punktet E må enten ligge inne i ABC, på kanten AB eller på utsiden av ABC. Vi feller ned normaler fra E til henholdsvis AC og BC. Nå kan vi tegne en hjelpefigur for hvert av disse tre tilfellene.

Tilfelle 1: CEF og CEG er rettvinklede trekanter med en side felles, så de må være kongruente. Derfor er EF=EG og CF=CG. Rettvinklete trekanter har vi også for ADE og BDE, og de er også kongruente. Da må AE=BE. Til slutt har vi også rettvinklete trekanter AEF og BEG, og de må også være kongruente. Da må AF=BG. Videre er AC=BC ved å legge sammen (AF+FC = AC og BG+GC = BC). Det vil si; AC=BC, og dermed må trekanten ABC være likebeint.

Tilfelle 2 og tilfelle 3 kan vi vise på nesten helt tilsvarende måte. I tilfelle 2 (E ligger utenfor ABC)  må vi trekke fra i stedet for å legge sammen til slutt, og i tilfelle 3 (E ligger på AB) er det tilsvarende argument med noen trekanter mindre å betrakte. Du kan prøve selv, eller ta meg på ordet ;)  (Men det er altså ikke der feilen ligger, den har allerede skjedd i tilfelle 1).

Uansett, ABC er likebeint i følge beviset.

30 juli, 2010

Arbeidstegning på GeoGebra

Her er en arbeidstegning for ei eske, laget i GeoGebra (Du kan se en større versjon her: http://www.screencast.com/users/oisteing/folders/Jing/media/6258c0f4-6cac-4319-b313-736ded3830ca):



Du kan laste ned selve GeoGebra-dokumentet her. Merk at du kan endre på de to punktene som ble først tegnet, for å justere størrelsen på eska.

Slektsgranskning

En litt umatematiske post sånn i ferietid. Den eneste ferielinken her er vel at antallet forfedre øker eksponensielt…

Etter å ha vært hjemme på Gjøvika på en (velfortjent?) ferietur hender det ofte jeg blir inspirert til å grave litt lenger ned, eller opp, i slekstreet. Det er alltid artig å finne ut mer om opphavet, og se om man klarer å komplettere treet sitt.

Det hender for eksempel det dukker opp gamle tegninger eller fotografier som man kan bruke som utgangspunkt. Denne gangen hadde mamma og pappa fått en kalender i julegave fra tante Liv, der et av bildene var en flott oppstilling i trappa på Gjøvika:

IMAG0114

Det er artig å se hvordan denne trappa ofte blir brukt til liknende oppstillinger, hver gang det er barndåp, bryllup eller konfirmasjon i Gjøvika. Eller navnedag, som her:

IMG_0199

Så kan en jo sitte og fundere på hvorfor akkurat de som er bildet er der. Litt enklere på nyere bilder enn gamle :)

Det er selvsagt også kjekt når noen har tatt vare på nedtegninger av sine røtter, eller har skrevet de ned selv. En god kilde til Tingvoll- og Straumsnes-slektene er bygdeboka til Hans Hyldbakk. Jeg tok meg friheten å skrive av og om igjen kapitlet om Gjøvika. Ikke vet jeg om det er lov, men hvis ikke rettighetene har falt i det fri, så får noen arrestere meg.

Det var jamnt slutt da jeg kom til tippoldemor, men mamma klarte å framskaffe et eget slekstre med utgangspunkt i nettopp tippoldemor, og derfra kunne jeg fortsette bakover omtrent til 1500-tallet. Artig!

DSC_0403

I helga var vi hos Maris oldefar Otto på en årlig fotoseanse for å forevige et voksende antall oldebarn (og barnebarn). Otto kunne også bidra med nedtegnede ætte-rekker og historier om hvor og hva menneskene og navnene kom fra. Dagens søteste innslag var nok likevel oldefars kart over hvor oldebarna skulle sitte:

IMAG0007

Man kommer ikke unna å bruke Internett eller programvare. Det beste  programmet jeg kom over til dette bruket er Family Tree Maker fra ancestry.com. Jeg bruker selvsagt mye nettressurser, og der har jeg falt for Geni.com. Det fungerer omtrent som en Facebook for slekta, der man kan tagge bilder, dokumenter, begivenheter m.m. I tillegg kan man hjelpe hverandre til å fylle ut deler av slekstreet som mangler.
Det er greit å holde litt orden og bruke flere skjermer samtidig, det krever både konsentrasjon og plass å finne ut mer om tidligere tider (for eksempel for å finne ut hvem av forfedrene som har vært lærere :) :

IMAG0003


En artig ting med datamaskiner er jo at de regner så fort som bare det, så derfor kan man her finne ut hvordan man er i slekt med forskjellige mennesker, kjente og ukjente. Så langt har jeg ikke funnet noen store kjendiser blant slekta, dessverre. Og det er mange kjente personligheter å ta av på Geni.com. Det nærmeste jeg har kommet er at samboerens farmors onkel er Martin Linge, mest kjent for Lingekompaniet under andre verdenskrig (Se Max Manus!) Men du visste kanskje ikke at han også var skuespiller og spilte bl.a. en fisker i filmen om Gjest Bårdsen? Er man litt kjent har man gjerne en offentlig profil på Geni.com, slik at det er lettere for andre å finne ut mer om slektskapen til vedkommende. Martin Linges offentlige profil finner du her. Datamaskinen kunne videre fortelle meg at det ikke var mest logisk å betegne Linge som samboerens farmors onkel, men heller bruke en vettug matematisk algoritme som brukte noen minutter på å finne ut at :
Martin Linge is your brother's ex-wife's second cousin's ex-wife's ex-husband's aunt's husband's fourth cousin once removed.

Når man kommer til 1500-tallet begynner man straks å nærme seg håpet om å finne en vikingkonge man stammer fra. Dessverre nærmer man seg også Svartedauen, som omtrent tilsvarer å trykke Ctrl+Alt+Delete, i følge Øystein Sunde, så jeg har ikke stort håp om komme helt dit.

For å si det med Geni.com; We’re all related!

24 juli, 2010

Studentblogger

Mange av lærerstudentene er på twitter, og mange av dem skriver også blogger. Her er et knippe fine blogger fra studentene mine! Får se om det dukker opp flere bloggende studenter etter hvert! :)

Dag Rune: http://norwegianmath.blogspot.com/

Åshild Stava: http://stavaphotography.wordpress.com/about/