MathJax TeX

Med litt hjelp fra @afwings klarte jeg omsider å få TeX på bloggen igjen. Denne gangen prøver vi å få det til med MathJax TeX.

Testing 1..2...3...:

Formelen for løsning av andregradslikninga er \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Eller vi kan sette den som en "displayed equation": \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\Deilig!

EDIT: Kanskje dette er et godt alternativ også: http://mathandmultimedia.com/2012/03/30/latex-in-blogger-another-alternative/

cos x = x

Likninga \(\cos(x) = x\) er ikke så lett å løse på vanlig vis, men ganske enkel om man gjør det grafisk: Tegn grafene til \(y=cos(x)\) og \(y=x\) og se hvor de krysser hverandre.

Likninga kan også løses slik: Slå inn et gjett på kalkulatoren, f.eks. 2. Trykk cosinus-knappen. Fortsett og trykk på cosinusknappen helt til displayet stabiliserer seg på et tall. Hvorfor blir dette tallet løsninga på \(\cos{x}=x\) ? Ekstraoppgave: Hvorfor virker ikke dette for \(\sin{x}=x\) ?

Matematikklæreren–noen favoritter

Femte og siste innlegg om den typiske matematikklæreren i følge nye lærerstudenter.

Til sist ønsker jeg å dele noen av de som har skilt seg ut blant disse tegningene.

Her er det vel liten tvil om symbolikken - den store avstanden mellom læreren og eleven. Ikke bare skal matematikken være vanskelig, den er langt borte og nesten usynlig også.

Noen har en såpass solid strek at ti minutter er lang nok tid til å lage et lite kunstverk av den gamle, hyggelige læreren, men også den dypsindige (eller tungsindige?) matematikklæreren med røykpakke i lommen og gjennomtrengende blikk.

Tre av fire lærere har blitt tegnet med briller. En annen favoritt som nesten minner om de klassiske karikaturene av John Lennon og Yoko Ono er denne - som viser at det man sitter igjen med etter tretten års skolegang er bildet av matematikklæreren som en eneste stor brille:

 

 

Alle barn ser seg selv gjennom de blikk de møtes av. (…) Lærerens blikk kan være en nådeløs dommer

Inge Eidsvåg ( http://www.flux.no/default.pl?showArticle=489&pageId=253 )

Det kan se dystert ut for oss matematikklærere - en av fem har blitt portrettert som mer eller mindre usympatiske i studentens tegninger. At matematikklæreren er usympatisk er en standhaftig myte så vel som en holdning vi skal jobbe for å bryte ned hos disse studentene i årene som kommer. Men tross alt: De aller fleste smiler, og tilsynelatende få smiler av skadefryd! Vi får håpe vi etter hvert får flere forestillinger om matematikklæreren som sola som lyser opp tilværelsen:

 

Avslutningsvis velger jeg å gi ordet til Alexander Kielland:

Lærerne gikk som om de gikk igjen. En vissen, grinet flokk, som gjennom årene utviklet hver sin særhet til karikatur; fordi deres ensomme liv var å sitte på kateteret og strø støv på en ungdom de ikke forstod.

Alexander Kielland, Gift, 1883.

 

Du kan lese mer om myter knyttet til matematikk og lærerne i disse referansene:

Alseth, B., (2008) Meninger og myter om matematikk. Kapittel i Newth, E., og Jørgensen, S.R., (2008) Matematikk med din glede, Gyldendal.

Botten, G. (2003) Meningsfylt matematikk, Caspar Forlag.

Du kan se tegningene fra noen av de siste års førsteklassinger ved lærerutdanningen på HiST her (tegningene skulle aldri inneholde navn, men er anonymisert etter beste evne. Skulle noen studenter lese dette og kreve royalties skal jeg med glede øse av overskuddet til bloggen!) :

2010: http://www.slideshare.net/oisteing/matematikklreren-2010

2009: http://www.slideshare.net/oisteing/matematikklreren-2009

Den typiske pedagogikken

Innlegg fire om påtroppende lærerstudenters framstilling av den typiske matematikklærer.

Mange av lærerne som blir tegnet er avbildet med typiske matematikkredskaper. Det kan være ei tavle, en pekestokk eller en kalkulator.

At en såpass stor andel lærere skal ha behov for pekestokken (ca. 40 %) kan virke snodig. Jeg kan nesten ikke huske sist jeg så en pekestokk bli brukt i et klasserom. Jeg har vanskelig for å tro at pekestokk-bruken er så utbredt som tegningene indikerer. Ingen har så langt tegnet en lærer med datamaskin og heller ingen tegnet med PowerPoint eller laserpeker heller. Noen vil vel kanskje si at det er et gode, men er det den faktiske virkelighet som framkommer?

Kalkulatoren ser ut til å ha hatt sin storhetsperiode og nå har den vel en mer usikker status. Skal man investere i en kalkulator når de fleste har datamaskiner med gratis programvare? Er det viktigere å memorere sekvenser av tastetrykk på en kalkulator enn klikkesekvenser i et dataprogram?

Så godt som samtlige tegninger avbilder en lærer som bedriver frontalundervisning av forskjellig art. Skyldes dette at de er enklest å tegne? Hvorfor er det slik at det å tenke tilbake på skolegangen gir oss bilder av læreren som en presentatør, og ikke som en tilrettelegger eller veileder? Var det ikke dette mange års didaktisk forskning og dertil hørende læreplanrevideringer skulle endre på?

Bok: Creating Positive Classrooms

Denne boka er så lita at den knapt kan kalles ei bok, men OK, det er tross alt hundre sider om enn i ekstremt lite format. Uansett, det er vel heller innholdet man bør fokusere på!

Creating Positive Classrooms er skrevet av Mike Ollerton, en kar jeg har nevnt flere ganger før på bloggen. Han har ei fin liste av utgitte bøker, og du kan også møte ham andre steder på nettet, f.eks. på YouTube.

Denne boka består for det meste av tanker om hva det vil si å være lærer, og i en viss forstand, fokus på det å være matematikklærer, ettersom det er det som er Ollertons hovedvirke. Når jeg leste boka fant jeg det vanskelig å være uenig i noe av det han skriver om, men samtidig var det en del uvante temaer som dukker opp. For eksempel vier han et helt kapittel til temaet røyking (et større problem blant Englands ungdom enn hos oss. En betydelig andel femtenåringer røyker, til tross for at de ikke har lov til å kjøpe sigaretter...). Andre temaer er "Hvorfor det bare er tull å bruke belønnelsessystemer eller straffessystemer". Kort fortalt, hva mener Ollerton om vanlige temaer som lærere før eller senere dumper borti.

Det er vanskelig å se denne boka som en lærebok i noe som helst, snarere er det et debattinnlegg i mange av de debattene som vil finne sted på lærerrommet, eventuelt rektors kontor.

Spesielt likte jeg den relativt enkle og hverdagslige, men svært så idealistiske formuleringen om hvorfor han ikke tenkte å belønne de elevene som hjalp han med å bære overhead eller bøker eller hva det nå måtte være:

"Det er slik siviliserte mennesker bør oppføre seg mot hverandre, og da bør det være nok å gi en hyggelig takk."

Vanskelig å være uenig, men er man i stand til å gå inn i jobben med den holdningen? Jeg håper det!

Matheaspillet

Dette spillet er et kortspill der hensikten er å danne par. Man finner par blant kortene man har på hånden og trekker så inn nye kort. Den med flest par når bunken er brukt opp har vunnet.

Så enkelt kan det gjøres!

Hensikten med spillet er å kunne se mengder på forskjellige måter, for eksempel er det nyttig/viktig for en som utvikler matematikkforståelsen sin å kunne se at både to fingre strukket ut og tallet to og to prikker står for det samme antallet. Veldig simpelt prinsipp, mange varierte (viktig!) eksempler på kort tid bygger forståelse for begreper.
Tenker man skjematisk på dette vil den lærende her støte på nye begrepsuttrykk som kan matche eller ikke matche det skjemaet man allerede har. Her må det kanskje skje en justering av skjemaet for å inkludere forståelsen for at to prikker (et antall) representerer det samme som tallet to (et symbol). Det er jo to fundamentalt forskjellige måter å oppfatte to på (mengde/symbol).

Jeg skriver HENSIKTEN med spillet, men når man vet at det er små barn som har utviklet spillene har de (forhåpentligvis!) ikke tenkt didaktisk på det, men heller laget spill som de synes er artige (noen av disse fire har tildels meningsløse elementer som ungene likevel synes er underholdende). Vanskegraden er relativt lav, så man kan godt komme i gang med spill som dette i 3-4-årsalderen. Kanskje får man ideer til å lage tilsvarende spill selv? (Mange varianter av kortspill der man skal matche begreper fins, se for eksempel en engasjerende variant fra funksjonslære her: Connecting graphs of f, f' and f'' (pdf))

Det var de fire spillene i Mine fire første matematikkspill. Enkle saker, men morsomt og lærerikt for de minste. (Hvor henvender man seg for å bli prøvekanin for flere slike? :)

Den typiske skolematematikken

Innlegg tre av fem om hvordan den typiske matematikklærer blir framstilt av påtroppende lærerstudenter. Les innlegg en her, og innlegg to her.

Omtrent halvparten har tegnet lærere som henviser til ei tavle hvor noe matematisk presenteres. Og på omtrent halvparten av disse igjen er matematikken helt meningsløs. Det kan virke som det abstrakte fremheves, og også at det matematiske symbolspråket har falt vanskelig for mange.




Ingen ser ut til å anse det som naturlig å tegne en lærer som prøver å lede en prosess hvor matematikk skapes i klassen, men fokuserer på matematikk som ferdig produkt som presenteres. En gjenganger er også de to strekene under svaret, som peker i retning av at den matematikken man husker fra sin egen skolegang er den som kun hadde ett riktig svar.
Kanskje er det vanskelig å forestille seg hvordan en prosess der matematikk som skapes ser ut. Man ledes til spørsmålet: Skyldes det i såfall at man ikke har opplevd det nok?

SI-enheter

Interessant blogpost om enheter. Var faktisk ikke klar over at det bare var kiloet igjen som må måles i hvelvet i Paris. http://kollokvium.no/2012/03/19/hvor-tungt-er-et-kilo/

Mennesketypen “matematikklærer”

(Innlegg to av fem om studentenes tegninger av den typiske matematikklærer) Se forrige innlegg her.

Kjønn
I en statistikk fra årtusenskiftet (http://www.regjeringen.no/nb/dep/kd/dok/nouer/2003/nou-2003-16/7/3.html?id=370677 ) kan vi se at omtrent tre av fire lærere i grunnskolen er allmennlærerutdannet, og et knapt flertall av disse hadde utdanning i matematikk. Kjønnsfordelingen var nokså lik i ungdomsskolen, mens det i grunnskolen var en forholdsvis stor andel kvinnelige lærere.
Uten unntak har en typisk klasse der denne tegneoppgaven ble gitt, hatt stor overvekt av kvinnelige studenter, gjerne veldig stor - et anslag kan ligge på mellom 60 % - 90 %, varierende fra år til år. Det stemmer også overens med at det er flest kvinnelige lærere i grunnskolen. Jeg spør hvert år om hvor mange som tegnet mannlige lærere, og de fleste rekker opp hånda. Dette misforholdet i seg selv er litt oppsiktsvekkende og overrasker flere av studentene når de ser seg rundt og ser at det i klasserommet stort sett sitter kvinnelige studenter som har tegnet alle disse mannlige lærerne. I løpet av de siste fire årene har kun om lag 10 % av tegningene avbildet kvinnelige lærere. Dette gir et godt utgangspunkt for å diskutere hvordan det kan henge sammen at flest kvinnelige lærerstudenter fører til flest mannlige matematikklærere. Og for den saks skyld, er det nå engang slik at det er flest mannlige matematikklærere? En årsak vi etter hvert har kommet fram til er at de gjerne tegner den siste læreren de har hatt, og det er da gjerne en matematikklærer som de har møtt på videregående skole. Her vet vi at det er overvekt av mannlige lærere.

Framtoning
At man på tvers av klasse og årstall skal få tegninger som de under kan jo få en til å undre seg over hvor sterkt mytene om den typiske matematikklæreren står.



Det kan jo tenkes at de faktisk har tegnet den samme læreren, og at denne har gått i like klær ved flere anledinger, men det skal jo godt gjøres. Jeg tror heller det er slik at de har en oppfatning av hvordan den typiske læreren ser ut.
Slike spontane tegninger kan vise sider ved studenters oppfatninger, som man ikke ville fått innsyn i på annen måte. For eksempel har ca. 7 % av de tegnede lærerne klær med tall på. I det virkelige liv kan jeg ikke se for meg særlig mange lærere som faktisk går rundt i klær med tall og symboler på (noen få unntak finnes), så dette henger nok sammen med myten om at man må være “fagidiot” for å i det hele tatt bli matematikklærer.
Videre er en ualminnelig stor del av tegningene lærere med rutete klær (om lag 15 %) og kanskje også vest. Uten å gå i dybden på lærermotens finurligheter kan man merke seg at det i år er en liten nedgang i rutete skjorter på lærertegningene, og det i en tid der rutete skjorter er det som er “in”. Synes elevene at vi lærere følger et helt motsatt motebilde av det reelle?
Ansiktsbehåringen er et moment i seg selv, det viser seg at 40 % av matematikklærere som er tegnet har skjeggvekst, gjerne også bart. (Må her minne om at studentene kommer fra hele landet, men at naturlig nok en stor andel ved vår høgskole kommer fra Trøndelagsfylkene).

 
Det er også verdt å legge merke til at over 70 % av lærerne er tegnet med briller. Myten om at kloke folk har briller fordi de leser mye, ser ut til å stå sterkt. (Underforstått; matematikklærere er kloke mennesker!)  En mer naturlig forklaring kan være at matematikklærerne ser ut til å tilhøre det eldre segment av lærerstokken.
Andre faktorer som tydeligvis er ment å gi lærerne en uheldig framtoning er dårlig ånde, uheldig påkledning og svetting.

Lynne
Omtrent en femtedel av lærerne er tegnet på en måte som gjør at de framstår som usympatiske. Det kan dreie seg om å lage en fandenivoldsk prøve, latterliggjøre elever som ikke får til eller generelt se aggressive eller sinte ut. Disse usympatiske lærerne gir inntrykk av at det ikke er meningen alle elever skal kunne lykkes i matematikk.

Matematikklæreren

(Post en av fem om oppfatningen av en typisk matematikklærer)

Studenter som tar fatt på en lærerutdanning starter gjerne med litt rigide forestillinger og oppfatninger av hva matematikk er og om hvordan matematikkundervisning foregår. De har tross alt opplevd ganske mange timer i uka i ganske mange år med denne aktiviteten på timeplanen. I flere år har jeg nå stilt de ferske lærerstudentene følgende oppgave:

Tegn en matematikklærer (tidsramme: 10 minutter).

Denne oppgaven er en av de aller første de møter, så vi får en (av lærerutdanningen) forholdsvis upåvirket og spontan illustrasjon av hvordan de ser for seg den typiske matematikklæreren og tilhørende undervisning, og dermed kan den også være informativ for oss i videre dialog med studentene. På de neste sidene skal vi dykke ned i noen av de tegningene jeg etter hvert har samlet, og beskrive noen av tendensene som dukker opp.
Totalt har jeg samlet 275 tegninger, altså ikke store mengder, men likevel nok til å kunne gi en god pekepinn på meningene og holdningene studentene besitter. Jeg skal i de neste postene gi eksempler på tegninger og se hva som går igjen når studentene lager spontane framstillinger av læreren. Følg med!

(Hvordan ville du tegnet en typisk matematikklærer?)

Bokanbefaling

På bokskred er det vel snakk om en eller to bøker om matematikk hvert år, og det er vel kanskje ikke mer å forvente når man tenker på omfanget matematikken har blant folk flest. I år oppdaget jeg denne boka på bokskred, og kjøpte den vel ganske ukritisk på grunn av det glorete omslaget og den lave prisen....

Likevel, denne boka byr på svært mye stoff for lærere. Tittelen eleksikon er fullstendig misvisende (det kommer nok av at det er en mer eller mindre leksikalsk serie, der hver bok har sitt tema), da dette er en bok som stort sett inneholder eksperimenter og prosjekter som passer bra på mange klassetrinn. Her er det historikk om utviklingen av matematikk, måter å lage mønstre på, måter å utføre praktiske øvelser ved hjelp av matematikk og så videre.

En lang rekke temaer blir berørt, rekker og funksjoner, mønstre og former, algebra og koordinater, kunst og proporsjoner og en mengde andre ting. Rett og slett en morsom matematikkbok, og til den nette pris av 39 kroner er ikke dette ille :)

Originalen heter "How mathematics work" og det er kanskje en bedre tittel!

Må også nevne at det for et par år siden dukket opp en selger på døra, og han prøvde å selge dette leksikonet - som da var ganske dyrt. Pussig nok er noen av bøkene merket med logoen til Google, men det skulle vise seg i avisoppslag senere at Google ikke kjente til dette. Selgeren ble også mistenkeliggjort (som seg hør og bør for dørselgere ;), men avisa måtte senere beklage og opplyse om at det var helt legitimt salg som ble forsøkt.
Bak på boka står det at man kan gå til www.eleksikon.no og taste inn nøkkelordet Matematikk for å finne nyttige ressurser. Dette fungerer ikke i det hele tatt, så man kan spørre seg om seriøsiteten og hva Cappelen Damm driver med her, men kvaliteten på akkurat denne boka er det imidlertid ingenting å si på.

Kredittkorttall

Kom over denne via StumbleUpon: http://www.mint.com/blog/wp-content/uploads/2011/01/CrackingCreditCode11.jpg

En ganske stilig Infographic som viser hvordan tallkodene på VISA-kortet ditt er bygd opp.