Ein ulikskap

Areal og areal

Om du sett eit kvadrat inni eit anna kvadrat så vil arealet av det indre kvadratet endre seg avhengig av kor hjørnene havnar hen. Det kan du sjå på den første figuren under. Du ser nok og at det går an å finne ein største og minste verdi for dette indre kvadratet. Men vil det vere same forhold mellom dei to figurane om ein i staden brukar likesida trekantar? Klarar du å sete opp ei hypotese her? Det neste spørsmålet er sjølvsagt om det blir eit system av dette om ein i neste omgang ser på femkantar (pentagon) og sekskantar (hexagon).

H.C. Andersen

Kanskje du ikkje visste at H. C. Andersen (1805-1875) var begeistret for Pytagoras-setninga? Han har til og med skrive eit bevis for setninga, rettare sagt, gjenfortalt Eukilds bevis frå Elementa, der dette er Proposisjon 47 i bok I. Diktet heiter Formens evige Magie og har undertittelen Et poetisk Spilfægteri (1831).

Formens evige Magie

Et poetisk spillfægteri
Om Kageformen, eller selve Kagen
Er Hovedsagen,
I denne Verden, gaae Vi her forbi.
Jeg bringer - (ja, jeg kommer til det samme)
Jeg bringer nemlig her en lille Ramme
Til hvad Jeg skrev og kaldte Poesi.
Og muligvis faar Rammen mest Værdi,
Thi den har "Formens evige Magi",
Og den kan stikke Hjertets Poesi.
Han, som til Dato vragede hvert Stykke,
Jeg bragte frem (fordi deri var Skygge),
Maaske hos ham min Ramme gør sin Lykke,
Thi jeg skal trænge den i Formen ind;
Jeg vil den seie Prosa-Lyng oprykke,
Og, kort sagt - lave Suppe på en Pind.
Hvad der er mest mod Poesien bister,
Geometriens yndede Magister
Mathetos, jeg her på Bladet rister;
See saa! Pas paa Enhver!

Trianglen ABC er givet her,
Retvinklet og paa Siderne Quadrater;
Beviset er om nu de to Kateter
AC, BC (jeg nævner disse Steder)
Er just i Eet og Alt, som den Krabat,
Hypothenusen kalder sit Quadrat.
Nu gaae vi da til vore Præparater.
En lodret Linie maa man som De veed
Her drage til den større Side ned,
Og saa forlænge den til K,
Da vil man finde, ei det mindste mangler,
AB-Quadraten ganske rigtig staae
Delt (som AK, BK) i to Rektangler.
(Thi tvende rette Linier, man veed,
Har just det generelle,
Naar de to en tredje de staae lodret' ned
Saa er' de ogsaa ganske paralelle.)
Nu drages een fra A til G, fra C til I, 
Og da Præparationen er forbi.
Ei sandt, o Mester! True dog ei med Riset!
Nu gaae vi til Beviset.
Vi har de to Triangler ABG
Og CBI, hos dem er Vinklen p
Lig Vinklen o, men o er lig en ret,
Ja, der er Ingen, som vil nægte det,
Thi rette Vinkler er der i Quadrater,
Nu Vinklen r lig Vinklen r. Ei sandt?
(Thi sund Fornuft kan sige,
Hver Størrelse jo med sig selv er lige.) 
Saaledes p plus r lig o plus r man fandt,
(Her i Figuren staae de smaa Krabater.)
Naar lige nu til begge bliver lagt,
En lige Sum er da tilveiebragt.
(Nu er vi med Beviset snart forbi,
Det stærkt mod Enden lider.)
See Vinklen ABG lig CBI,
ABN er lig  BI, BG er lig BC
(I en Quadrat er lige store Sider,
Derfor, saa sandt som Tre gjør' altid Tre,
To Sider og en Vinkel vil os lette),
Trianglen ABG vi her tør sætte
Lig CBI (og det er intet Træf)
Nu ABG er lig en halv BK
Pas paa!
Nu CBI er lig en halv BF
(Husk: lige stort for lige stort kan gaae.)
Eens er Divisor, eens er Dividenden;
Eens bliver altså ogsaa Quotienten,
Og ad den samme Vei vi faae:
AD er lig AK.
Der har du Maaden,
Snart som Pythagoras man løser Gaaden.

Ja løst, beviist - Du store Trylleri!
Du Himmel tak - at det nu er forbi!
Thi slige Vers er ikke Narreri;
De løber vel, som der var intet i - 
Dog her var jo Fornuft og Form-Magi 

(Det sidste vil jeg haabe,
Og i denne Form er i det mindste fri
For hvad der dæmper slemt hver Melodi:
En Mudderdraabe.)
Fornuft og Form har her skabt - Poesi.
Her seer man 'Formens evige Magie.'

(Kjelde: Tangenten 3/1999 og MAT B1 STX (iBog) - Grundbog til Matematik på stx B-niveau)

(Foto: (eget) H.C. Andersen i Central Park, New York)

Huzzah!

Store brøkar i Google Docs

Åh, kor mange gongar eg har irritert meg over dei små brøkane som kjem når du brukar Google Docs. Eg veit ikkje heilt om nokon elegant måte å unngå det på, og det er ikkje berre å endre storleiken sånn utan vidare. Men her er ein måte som virka for meg, iallfall: