Matematikkruner

Eg kjende ikkje til dette før eg las det i tangenten, i ein artikkel skrive av tidlegare kollega Mike Naylor (Matematikkbølgen / Amborneset Matematikkpark). (Sjå tangenten nr. 3, 2016.) Her sett vi alle sifra i ein sirkel og bestemmer oss for ei gangetabell, for eksempel 3-gangen. Så ganger vi kvart siffer på sirkelen med dette talet og trekker ein strek frå sifferet til resultatet av gangestykket. For eksempel kan vi trekke strek frå 1 til 3, sida 1 x 3 = 3. Om vi havnar over 10, ser vi kun på einarsifferet. Så frå 7 trekkjer vi ein strek til 1, sida 7 x 3 = 21. Om sifferet er det same som einarsifferet til svaret, så lagar vi ei lite sløyfe rundt sifferet.

Så kan ein jo prøve med addisjon i staden for multiplikasjon.

Kva observerer du? Kor mange samanhengar klarar du å finne?

Her kan du prøve:

Årets Fieldsmedalje

Vart tipsa om denne artikkelen om årets tildeling av Fieldsmedaljen. Denne gikk til June Huh, og eg må seie det var ein fryd å lese denne presentasjonen av vinnaren. Slik skal det gjerast :)

https://www.quantamagazine.org/june-huh-high-school-dropout-wins-the-fields-medal-20220705/ 

Matematikklæraren

Denne bloggen heiter jo eigentleg Matematikklæraren, sjølv om den ei stund hadde namn frå den tullete URL'n eg valde for snart tjue år sida (altså "mattegreier"). Omtrent på same tid som namneskiftet jobba eg med starten på det som vart eit langvarig prosjekt med å samle teikningar. Første timen eg hadde med nye lærarstudentar brukte eg alltid aktiviteten "Teikn ein matematikklærar" og samlet inn teikningane dei laga. Det vart med tid og stunder (12-13 år) eit stort materiale over korleis nye studentar såg for seg at ein matematikklærar såg ut. 

Materialet vart analysert både kvantitativt og kvalitativt og den kvantitative delen, kor vi foretok ei cluster-analyse, vart publisert her: https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14794802.2022.2041471. Her ser vi mellom anna på korleis typiske karakteristika som opererer i lag på slike teikningar. Det kan til dømes vera at det er typisk at kvinner underviser enkel aritmetikk og at menn underviser komplisert algebra. Korfor kan det vere ei oppfatting som har sementert seg? 

Vi fann og ut at andelen kvinner som blir teikna er stigande, noko som må seiast å vera eit gledeleg resultat. Då eg begynte prosjektet  var det nesten berre menn som vart teikna, og det var nesten berre kvinnelege lærarstudentar, heilt klart ein rar tendens.

Artikkelen har for øvrig fått ganske god mottaking, og er akkurat no den nest mest leste av dei som ventar publisering (dei publiserer ikkje ofte journalutgåver). Ikkje alle var like imponerte, rett nok. Her er eit utdråg frå twitter etter at ein kar hadde lenket til ein "interessant studie frå Noreg" :)

Heilt på kanten - del 4. Nok unøyaktigheit!

OK, så fann vi arealet litt unøyaktig, men når ein såg at koordinatane for hjørna i "putekvadratet" var noko med 1.41... så kan ein jo tenkje at dette vel må gå an å finne eksakt! Men om vi skal utføre denne integrasjonen eksakt så må vi og ha eksakte koordinatar for F og G (sjå figuren under).

Vi treng altså likninga for kurva som går gjennom G og F. No har vi jo konstruert denne som ein parabel så vi veit det må bli ei andregradskurve. La oss seie brennpunktet E har koordinatar \((p,q)\). Og styringslinja er \(y=r\).  Den generelle andregradskurva er gitt ved formelen 

\[y=a(x-h)^2+k\]

Vi ønskjer altså å finne a, h og k. Her er \((h,k)\) toppunktet til parabelen. Vi veit at dette toppunktet er halvvegs mellom styringslinja og brennpunktet. Da må y-koordinaten til toppunktet vera \(\frac{q+r}{2}\). Dette gir at \(h = p\) og \(k =\frac{q+r}{2}\). Vi kan bruke våre eksakte verdiar uten å tape generalitet i denne oppgåva. I vårt tilfelle er \(h=p=0\) og \(y=r=2\). Da blir \(k=\frac{3}{2}\). 

Når vi har konstruert parabelen slik vi har gjort ser vi at (1,1) må vera eit punkt på parabelen, da det ligg like langt frå E som C. 

Da blir likninga til slutt \[y=a(x-h)^2+k=a(x-0)^2+\frac{3}{2}=ax^2+\frac{3}{2}\].

Sett vi inn \((x,y)=(1,1)\) i likninga får vi at \(1=a+\frac{3}{2}\), slik at \(a=-\frac{1}{2}\). Likninga for parabelen blir:

 \[y=-\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{3}{2}.\]

Men korleis finn vi koordinatane til F og G, det er jo der vi skal integrere mellom? Pytagoras gir oss at \(EC=\sqrt 2\). Vi får at \(EC+\sqrt(2)\cdot EC=\sqrt(2)\). Slik får vi at F har koordinatane \((\sqrt(2)-1, \sqrt 2)\). Symmetri gir at \(G=((1-\sqrt 2, \sqrt 2)\).  Då kan vi integrere for å finne det blå arealet i figuren over: 

\[\int_{1-\sqrt 2}^{\sqrt 2-1} \frac{-1}{2}x^2+\frac{3}{2} \,dx=\frac{4}{3}\sqrt 2-\frac{2}{3}\approx 1.22.\]

Dette er altså det blå arealet på figuren. Arealet av rektangelet KLFG (sjå figur nedanfor) blir \( (\sqrt 2 -1 - (1-\sqrt 2 ))\cdot \sqrt 2 = 4-2\cdot \sqrt 2\). Arealet avgrensa av buen mellom F og G og linja gjennom F og G blir da  \[\frac{4}{3}\sqrt 2 -\frac{2}{3}-4-2\sqrt 2=\frac{10\cdot \sqrt 2}{3}-\frac{14}{3}\approx 0.047.\]

For å finne det endelege arealet treng vi fire av desse, samt kvadratet \( (2\cdot \sqrt 2 -2)^2=12-8\cdot \sqrt 2\). Totalt blir det altså: 

\[ 4\cdot (\frac{10\sqrt 2}{3}-\frac{14}{3})+12-8\cdot \sqrt 2 = \frac{16\cdot \sqrt 2}{3}-\frac{20}{3} \approx 0.88\].

Og så til slutt må vi sjå kor stor andel dette utgjer av kvadratet på 4, som blir \[\frac{16\cdot \sqrt 2}{12}-\frac{20}{12}\approx 0.22.\]

Sjå figuren for å sjå dei forskjellige areala.

Algebraen ovanfor er ikkje spesielt vanskeleg, men om ein ikkje gidd gjere alle kvadreringane kan ein bruke til dømes GeoGebra sitt CAS-verktøy for å finne desse forenklingane av uttrykka. Svaret vi har fått gjeld generelt, det er alltid ca. 22 prosent av punkta i eit kvadrat som ligg nærmare sentrum enn kanten, men vi har vore litt sleipe når vi valde kor kvadratet er teikna hen. Ein kunne sikkert gjort det enda enklare for seg sjølv med å vald eit kvadrat der AB går frå 0 til 1 på x-aksen eller liknande.

Så kan vi jo legge til den litt meir direkte metoden for å finne likninga for ein parabel. I til dømes matematikkemnet 3MX fram reform 94 var dette eit kjend tema. Eit av resultata derifrå var at 

Ein parabel med toppunkt i origo og \((0,\frac{p}{2})\) som brennpunkt har likninga \[x^2 =2py\].

Ein slik parabel har \(y=-\frac{p}{2}\) som styringslinje. I vårt høve er situasjonen at toppunktet ligg på (0, 3/2).  Flytter vi heile oppgåva vår ned 3/2, får vi altså situasjonen beskrevet i definisjonen. Parabalen får da toppunkt på (0,0), brennpunktet blir (0,-1/2), slik at p=-1. Likninga er \(x^2 = 2py\) slik a vi får \(y = -\frac{1}{4} x^2\). Men så må vi flytte opp 3/2 så likninga til slutt blir \[y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}.\]

Klossmajoren

Skikkeleg god kjensle av å vera ferdig med å skrive bok og sjå den i bokhandelen etterpå! (Snikskryt). Under arbeid med forskjellige emne som handla om blokkprogrammering så sakna vi ein stad ein kunne lese både om å lære seg å programmere i Scratch, men samtidig få informasjon om bruk i klasserommet. Så Joakim og eg fekk lov til å skrive ei bok om dette og få den utgjeve på Universitetsforlaget. Vi tykkjer boka vart reint så fin, og kanskje har du ein triveleg rektor som spanderer eit par slike på personalet sitt :) 

Blad litt i ho og bestill boka her: https://www.universitetsforlaget.no/kloss-for-kloss