27 februar, 2012

Konvensjoner og konversasjoner

Etter en morsom diskusjon på twitter, initiert av @msdeckard og @hitthebutton, ble jeg sittende og fundere litt på spørsmålet som dukket opp.

Spørsmålet er en klassiker fra nettet, og lyder "Hva er svaret på 6:2(1+2) ?"

Bruk først noen sekunder på å regne ut dette selv.

Bortsett fra noen svært sære måter å bruke assosiativet og distribusjon på- som gir svaret 7 (!) - så er det to svar man ender opp med på denne oppgaven, 1 eller 9.

De fleste er skjønt enige om at man skal legge sammen 1 og 2 inni parentesen først. Regnestykket blir da 6:2(3). Så kommer problemet. Skal man dele 6 på 2 først, slik at det står 3*3, som blir 9? Eller skal man ta 2(3) først, slik at det står 6:6, som blir 1?

 Det verserer flere argumenterer for de to forskjellige løsningene. Det som er vanligst å lære på høyere utdanning er at det "ser ut som om 2(1+2) skal være i nevneren, slik at svaret blir 1, men vi kan ikke være sikre uten å spørre den som lagde spørsmålet". Et ikke helt tilfredsstillende svar - er det virkelig slik at man ikke skal kunne regne ut dette uten å spørre hva som egentlig er ment? Det å se at 2(1+2) skal regnes ut før man deler 6 på dette, kalles en del steder juxtaposition eller grouping, og påstanden er at grupperinger har høyere prioritet enn ganging og deling. Noen entydig definisjon på dette er ikke lett å finne.

I grunnskolen har man lært en mengde prioriteringsregler, og spesielt i amerikansk skole har man lært forkortelser som BODMAS, PEMDAS (Power, exponentiation, division, multiplication, addition, subtraction) (eller Please excuse my aunt Sally (hva nå hun har gjort)) eller andre varianter. Altså at divisjon eller multiplikasjon skal gjøres før den andre. Nå er det imidlertid slik at multiplikasjon og divisjon er sidestilt og det å lage en regel som sier at den ene skal gjøres før den andre vil føre til at de som ikke har denne konvensjonen vil få forskjellige svar. Sannsynligvis er det at M står før D helt tilfeldig, og at det ikke skal tolkes som at multiplikasjon konsekvent skal gjøres før divisjon. Dette er nok også årsaken til at så mange synes hele dette spillet med huskregler er noe tull.

En annen variant er altså om man tenker slik jeg gjorde, nemlig det vi lærte på grunnfaget om at 2(1+2) ser ut til å høre sammen og sannsynligvis er tenkt å være i nevneren. 

En helt annen måte å tenke på (eller rettere sagt, slippe å tenke) er å velge å gjøre likeverdige operasjoner fra venstre mot høyre. Noen programmeringsspråk har implentert denne måten å håndtere prioriteringer på, mens andre, f.eks. APL velger å ikke bruke venstre-mot-høyre-regelen. Etter å ha sjekket litt rundt på nettet finner jeg flere indikasjoner på at man prøver å la venstre-mot-høyre-regelen være den mest gjeldende. Dr. math hevder at begge løsningene i tvetydigheten er riktige, men at konvensjonen han føler er riktig er å gå fra venstre mot høyre. Dette vil da gi at man først tar 6:2, slik at svaret blir 3*3=9. Den mest pålitelige kilden jeg har funnet på dette er imidlertid Norsk matematikkleksikon, der venstre-mot-høyre-regelen blir nevnt ved navn. Hvorfor prøver man å dytte gjennom denne regelen? Ikke så lett å si, men min mening er at den i det minste er mer presis (om enn mer meningsløs) enn å se på hva som hører sammen.

Hvor kommer denne tvetydigheten fra? Jeg vil gjette på at man før kalkulatorens tid aldri skrev brøker lineært, men man brukte teller, nevner og brøkstrek, med 6 i telleren, 2 i nevneren og så plasserte man (1+2) over eller under brøkstreken alt etter som. Det er tross alt det som er poenget her, om denne parentesen skal stå i teller eller nevner.

Et av bildene som verserer på nettet. To CASIO
-kalkulatorer, men forskjellige tolkninger. Hentet
fra 9gag.com
Vi har den samme tvetydigheten med f.eks. 1/2x. Intuisjonen min og konvensjonen fra matematikkstudiet er å tolke dette som 1/(2x). En test i google viser at søkemeteren så tegner grafen til 0.5x, altså at tolkningen er (1/2)x. En artig detalj i denne sammenheng er at Texas Instruments ofte brukte dette eksemplet for å vise at man MÅ bruke parenteser i slike uttrykk. På et tidspunkt (her mangler jeg kilde) skal riktignok TI ha skiftet tolkning i sine kalkulatorer, slik at 1/2x før ble tolket som 1/(2x), men nå blir tolket som (1/2)x. Hva dette skyldes kan vi bare gjette oss til, men kanskje var det mange studenter som skrev 1/2x og mente (1/2)x?

For å ytterligere se hvor vanskelig denne distinksjonen er, kan du google 1/2 pi og 1/2*pi. Du vil få forskjellige svar, noe som viser at Google bruker forskjellige konvensjoner. I noen programmer skilles det også mellom om man skriver * eller et mellomrom.

Et siste element jeg har oppdaget er at man leser mer i notasjonen enn hva som er mulig. For eksempel sier mange at 6:2*(1+2) vil gi 9, mens 6:2(1+2) vil gi 1, da fjerningen av gangetegnet gir oss implisitt multiplikasjon som skal gjøres før divisjonen (grouping) (Samme problemet som ved googling av 1/2 pi). Andre igjen sier at hvis man skriver 6/2(1+2) så er det tydelig at 2(1+2) skal i nevneren, mens på 6:2(1+2)  er det kun (1+2) som skal i nevneren. Oh well. En annen ting å merke seg med notasjonen er at hvis man tolker 2(1+2) som FUNKSJONEN "to ganget med", så skal den prioriteres før divisjonen, men jeg kan ikke finne noe sted at det er lov å kalle en funksjon et tall (jeg er iallfall nesten helt sikker på at det ikke er lov i noe som helst programmeringsspråk).

Uansett hvor man leter på nettet finner man en kontrovers, der det ser ut til at en del mener svaret er 1, en litt større del mener svaret er 9 og de aller fleste i tillegg mener man kan unngå problemet ved å skrive spørsmålet ordentlig. Jeg vil tippe de få kildene jeg har funnet indikerer at venstre-mot-høyre-regelen vil være den mest fornuftige å holde seg til selv om intuisjonen min sliter med å omstille seg fra det vi lærte på studiet. Det er tross alt ikke matematikken det er noe feil eller tvetydig med, men vår måte å skrive ned matematikken på. Vi finner samme problem med a/b/c/d (som ofte skal tolkes (a/b) / (c/d)), og i eksponentiering, som a^b^c.

Finner dere ytterligere kilder på disse tingene er det supert om de postes i kommentarfeltet! En autoritet på nettet, Dr. Math har litt forskjellige poster om dette, f.eks. at saken fortsattes er under debatt/utvikling, eller "you may be old-fashioned, or you may be on the cutting edge".

Spiked math har også latt seg more med denne problematikken.


5 kommentarer:

  1. Hei!

    Jeg mener at dette egentlig ikke burde vært et problem.

    For å ta det vi er enige om først.

    Vi er enige om at divisjon og multiplikasjon er likeverdige, på samme måte som addisjon og subtraksjon er likeverdige.

    Vi er enige om at regnestykket 2:3*4 må utføres sekvensielt, som en følge av likeverdigheten i divisjon og multiplikasjon.

    Vi er enige i at regnestykket 2*x kan forkortes 2x.

    Følgelig mener jeg at det eneste riktige er at 2:3*x kan forkortes til 2:3x, og at implisitt og eksplisitt multiplikasjon er nøyaktig det samme. Ut fra denne logikken er det eneste riktige at svaret på oppgaven 6:2(1+2)=9.

    Jeg mener at årsaken til at det overhodet har oppstått misforståelser rundt dette er at enkelte kalkulatorprodusenter ikke tenkte seg godt nok om da de startet sin kalkulatorproduksjon, og så for seg :-tegnet som en brøkstrek og alt videre siden som under brøkstreken. Nå har imidlertid de fleste kalkulatorprodusenter (som Casio og Texas instruments) har endret praksis til det korrekte, nemlig lik behandling av implisitt og eksplisitt multiplikasjon.

    SvarSlett
    Svar
    1. Jeg tror jeg er enig i at det letteste er å bruke konvensjonen venstre-til-høyre. Den eneste grunnen til at jeg ikke tenker i de baner selv er jo at man har lært en annen konvensjon, og som fortsatt sitter hardt i. Jeg gikk en runde blant matematikerne her på huset (snitt på 500 stp matematikk pr. person :), og samtlige mente at svaret var 1 hvis man måtte velge, men at problemet var at spørsmålet var tvetydig. En av de tok til og med fram kalkulatoren for å prøve og fikk nettopp 1, så tydeligvis har ikke alle kalkulatorer rettet opp dette (jf. bildet i posten). Mine TI-kalkulatorer får 9 når jeg regner ut, alle sammen.
      Hadde vært interessant å finne en kilde til hvorfor Casio/TI byttet konvensjon, som sagt vil jeg gjette at mange brukerfeil førte til endring av konvensjon.

      Kunne også vært interessant å vite om grunnen til at man evolverer mot en venstre-høyre-regel er at denne er lettere enn implisitt-før-eksplisitt. Jeg har en følelse av at den er det, siden den involverer mindre tolkning og bare gjøring.

      (Beklager blog-kommentar-formatet, har ikke den tilstrekkelige interesse og tid til å endre på det :)

      Slett
    2. Aller høyeste matte-gud svar er vel at ingen matematikere ville skrive oppgaven slik. Matematikk er et språk, og man er litt "dårlig" i språket om man skriver tvetydig. Jeg mener fortsatt at implisitt-før-eksplisitt ikke er noen regel, annet enn hva kalkulatorprodusenter har gitt som regel for implementasjon av sine algoritmer. Det enkleste ville være om kalkulatorer og regneprogram ikke godtok den notasjonen overhodet. Excel og Calc for eksempel protesterer og vil ha en eksplisitt multiplikasjon (og gir dermed svaret 9).

      MxMath og GeoGebra godtar notasjonen og gir også svaret 9. Jeg fant på huset her en TI som ga 9 og en Casio som ga 1. Min datamaskinkalkulator i avansert modus gir 9.

      Slett
  2. Her hjemme er vi ikke gode på dette, men nå om dagen ser man stadig vekk et bilde på facebook som viser dette regnestykket:
    40 + 40 × 0 +1 = ?
    Trenger hjelp for å få husfred

    SvarSlett
    Svar
    1. Her er det ikke noe i veien for å følge de vanlige reglene. Multiplikasjon først, så addisjon. Dette øver elevene massevis på, men det kan også begrunnes at det MÅ være slik.
      Derfor kan man først gange ut 40x0 og få 0. Dermed blir regnestykket 40 + 0 + 1 = 41.

      Slett