Klassiker: Thales setning

Thales setning er ganske godt kjent, og må regnes som en klassiker innenfor den klassiske geometrien. Setningen sier ganske greit at et punkt C på en halvsirkel fra A til B vil lage en rettvinklet trekant ABC uansett hvor C ligger på halvsirkelen.
I bunn og grunn er dette rare greier - at ikke dette punktet C's plassering skal ha noe å si for hva slags trekant det blir! Flytt litt rundt på C på figuren under, så ser du at trekanten hele tiden blir rettvinklet. Men hvorfor er det slik?
Ser du f.eks. på Wikipedia, så vil du se at det vanlige beviset er forholdsvis "skriftlig" og kanskje ikke umiddelbart enkelt for alle elever. I den glimrende boka Mathematician's Lament av Paul Lockheart forteller forfatteren imidlertid om en elev i ungdomsskolen som lager et helt fint argument med ord og bilder. Og da slik at ideen blir det viktige.
Trykk på "trinn 1" nedenfor, så ser du at eleven har rotert trekanten 180 grader. Det dannes da et rektangel. Det er altså IKKE et "skjevt" parallellogram, ettersom (trykk på "trinn 2") begge diagonalene er diametre i sirkelen. Ettersom det er et rektangel er vinkelene rette, og Thales setning følger.

Hva er lærerens oppgave når eleven jobber med formelle/uformelle bevis som dette? Jo, for eksempel å påpeke at det ikke er innlysende at diagonalene i parallellogrammet er diametre i sirkelen. Eleven responderte da (trykk på "trinn 3") at - jo, siden trekanten er rotert en halv omdreining så ender tuppen akkurat på andre siden, og dermed i nøyaktig motsatt posisjon av hvor den startet.

Denne lille sekvensen fra boka illustrerer så veldig godt hvordan vi i mange skolebøker og undervisningssekvenser dreper alle motivasjon, lærelyst og kreativitet. Hvorfor heller ikke fremelske slike løsninger som denne eleven kommer med? Det spiller ingen rolle at det ikke er stringent korrekt, formelt riktig eller bruker de riktige ord og notasjoner - eleven har sett et mønster, en egenskap - ja, en IDE, og det er akkurat det matematikk handler om.



This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Klassiker: Dudeneys snitt

I "klassikerserien" tar jeg i dag for meg Dudeneys snitt (engelsk søkeord: Dudeney's dissection). Spørsmålet er enkelt, svaret vanskelig, og resultatet et klassisk puslespill. Den opprinnelige oppgaven var angivelig "Kan man dele en regulær trekant i biter slik at den kan pusles sammen til en regulær firkant?" (Altså fra likesidet trekant til kvadrat). Dudeney løste problemet i 1907 og viste at det gikk an å dele det i så lite som fire biter. Underst ser du trekanten, og ved å dra i glidebryteren kan du se hvordan bitene kan flyttes over til et kvadrat.

Du kan lese om denne nøtten mange steder, f.eks. i Den matematiske krydderhylle (Nils Kr. Rossing) og flere ganger i Tangenten:
http://www.caspar.no/tangenten/2005/t2005-4.pdf
og http://www.caspar.no/tangenten/2001/t2001-2.pdf, eller kanskje du vil se en YouTube-film om hvordan du kan lage den i tre?



Man kan tenke seg flere måter å flette dette inn i undervisningen, og det på mange nivåer. Fra det enkleste (Del ut puslespillbrikkene, se om elevene kan få til å lage både kvadrat og likesidet trekant) til mer avanserte (Kan man finne ut hvordan trekanten er konstruert?). Også mer tekniske ting som å lage en dynamisk versjon i GeoGebra (eller tre) kan være aktuelt.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Klassisk "bevis": Sirkelareal

I årenes løp har jeg fått såpass mange spørsmål om arealformelen for sirkelen at jeg liksågodt legger ut en måte å forklare den på her. Denne måten å argumentere for formelen (for det er ikke noe formelt bevis) er nok den mest kjente og brukt i mange (de fleste?) lærebøker der temaet forekommer.
Ved HiST bruker vi det suverene (og litt vanskelige) læreverket Ypsilon i en bokserie fra danske fagdidaktikere. Der betegnes slike bevis - og denne veldig viktige ideen - for oppklippingsbevis.

Sirkelens areal

Lysbildeserien er egentlig bare en slideshareifisert versjon av en litt større fil med flere arealformler og sammenhenger mellom og inni de. Synes det ble ganske bra resultat, men det var en plage å skulle lage nøyaktige animasjoner i PowerPoint...