Klassiker: Dudeneys snitt

I "klassikerserien" tar jeg i dag for meg Dudeneys snitt (engelsk søkeord: Dudeney's dissection). Spørsmålet er enkelt, svaret vanskelig, og resultatet et klassisk puslespill. Den opprinnelige oppgaven var angivelig "Kan man dele en regulær trekant i biter slik at den kan pusles sammen til en regulær firkant?" (Altså fra likesidet trekant til kvadrat). Dudeney løste problemet i 1907 og viste at det gikk an å dele det i så lite som fire biter. Underst ser du trekanten, og ved å dra i glidebryteren kan du se hvordan bitene kan flyttes over til et kvadrat.

Du kan lese om denne nøtten mange steder, f.eks. i Den matematiske krydderhylle (Nils Kr. Rossing) og flere ganger i Tangenten:
http://www.caspar.no/tangenten/2005/t2005-4.pdf
og http://www.caspar.no/tangenten/2001/t2001-2.pdf, eller kanskje du vil se en YouTube-film om hvordan du kan lage den i tre?



Man kan tenke seg flere måter å flette dette inn i undervisningen, og det på mange nivåer. Fra det enkleste (Del ut puslespillbrikkene, se om elevene kan få til å lage både kvadrat og likesidet trekant) til mer avanserte (Kan man finne ut hvordan trekanten er konstruert?). Også mer tekniske ting som å lage en dynamisk versjon i GeoGebra (eller tre) kan være aktuelt.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Idas mattespill

I serien "Mine 4 første mattespill", har vi kommet til nr. 2, Idas mattespill. 

Dette spillet går ut på å kaste terning og flytte, og så bestemmer ruta man havner på hva som skjer. Kanskje ikke noen store bomber så langt. Havner du på bildet av en matematisk figur, så får du en brikke med den figuren på. Havner du på en pluss får du kaste en gang til og gå framover, havner du på en minus kaster du en gang til og går bakover. Igjen er det litt ullent i regelverket, om man egentlig trenger å komme seg dit det står mål eller ikke. Men det er ikke så farlig.

Læringsinnholdet går ut på å skulle kjenne igjen enkle former, og også holde oversikt på hvilke former man mangler. Når man har samlet alle fem har man vunnet. Og det er det som regel Mari som gjør. Det er ganske morsomt å se firåringen studere formene på figurene hun havner på for å se om de stemmer overens med de hun har liggende foran seg. Det er nesten så en kan se konseptene ta form. Bortsett fra det er det selvsagt telling, bruk av terninger og å kjenne igjen symbolene pluss og minus læringen i dette spillet går ut på. 

Igjen slår det meg hvor lett det er å lage liknende spill selv og hvor lite som skal til for at ungene skal synes det er stas å holde på med. Dere oppfordres herved til å kjøpe "Mine 4 første mattespill" for å bli inspirert til å lage liknende selv!

Kjønn og læring

Skal ikke rippe opp i Harald Eias hjerne-kjønn-identitet-iq-debatter her, men i dag postet Illustrert Vitenskap følgende artikkel i postkassa mi: http://illvit.no/spor-oss/laerer-jenter-og-gutter-forskjellig?utm_source=ILL_uge12_2011

Her står det en form for forklaring for hvorfor gutter gjør det bedre enn jenter i matematikk. Jeg bare lurer, er det ikke slik at jenter gjør det bedre i matematikk nå for tida?

Taylor Mali on what teachers make

Etter tips fra Torkel, deler jeg denne i dag...

Finn koordinatene

Denne GeoGebra-aktiviteten er inspirert av en liknende aktivitet på GeoGebra Applet Central. Den går ut på å dra den røde prikken til de oppgitt koordinatene. Trykk på F5 eller klikk på de blå dobbelpila øverst til høyre i GeoGebravinduet for å laste inn siden på nytt med nye koordinater. Hvis du dobbelklikker på GeoGebravinduet får du opp aktiviteten i sitt eget GeoGebra-vindu, og da kan du trykke F9 for å få nytt sett av koordinater.
Jeg har laget prikken ekstra stor, slik at denne fila fint kan brukes med SMARTboard. Aktiviteten kan passe fint som alternativ når elevene skal bli kjent med koordinatsystemet.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Mattespillet

I esken "Mine første fire mattespill" er altså dette et av de fire spillene.

Her ser vi Mari og undertegnede prøve spillet. Det er enkelt nok til at en firåring greit kan forstå det. Reglene er: Kast terningen og flytt - havner du på stjerne får du en stjerne, havner du på spørsmålstegn trekker du kort, havner du på noe annet, skjer ingenting. Man skjønner kanskje at det er barn som har laget reglene, for kortene har ingen som helst betydning, de aller fleste av de sier f.eks. at du skal "Hopp to ganger" "Syng Mikkel Rev en gang" og liknende. Den som først har fem stjerner har vunnet.

Matematikkinnhold? Joda, her er det nok for det meste enkel telling som er i fokus. Noen av spillene i esken går bl.a. på å kjenne igjen mengder, men her er det nok bare det å skulle telle prikker på terningen og flytte tilsvarende antall ruter som er aktuelt. I tillegg er det altså noen av kortene som inneholder litt telling. Det å vite når man har vunnet er egentlig den største utfordringen. I firårsalderen skal man ikke forvente at man kjenner igjen tallmengden fem uten å telle. Prøv selv, hvor store mengder kjenner du igjen uten å telle? Klarer du å "se" at de ligger sju henslengte objekter på et bord bare ved et øyekast? Fire ser man vel helt greit, og mellom der et sted oppstår vanskene. Likevel er det verdifull trening for barn å skulle ha "kontroll" på en mengde og kanskje etter hvert oppdage at man ikke må telle over alle hver eneste gang for å bestemme antallet. 

Mari teller prikker på terningen

Joda, morsomt for barna, for voksne
medspillere synes det nok litt meningsløst! :)

En tanke som slår meg når jeg ser hvor artig dette var for Mari, er at dette må være voldsomt enkelt å lage selv? Spillene er utformet etter en helt enkelt mal som likner på veldig mange andre spill. Kanskje kan ungene på barnetrinnet være med å lage sine egne spill? Det er en smal sak å lage slike kort med en kopimaskin (og lamineringsmaskin, om ønskelig). Slik kan ungene i klassen få et eieforhold til selve spillet, og kanskje bli mer motivert til å gi seg i kast med å øve på telling.

Pi-dagen!

Vår forrige bil slet med dette med å finne pi:

Vi ser jo til og med at 14.20 var et ganske dårlig forsøk. Men det var jo egentlig unødvendig, ettersom det var så mange som hadde funnet denne verdien fra før. I dag er det faktisk pi-dagen! Gratulerer alle sammen! Dagen går selvsagt ikke upåaktet hen, og jeg minnes mitt første år som lærer da elevene stilte i slips og/eller kjole denne dagen. Du kan lese utfyllende artikkel i Wikipedia, eller gå inn på den offisielle (?) hjemmesida til pi-dagen. Det fins mange bøker og nettsteder om pi, en av de morsomste bøkene er The Joy of Pi, som også har et flott nettsted. Den norske boka Matematikkens krydderhylle har også et stort kaPIttel om jubilanten. 

Dette nettstedet er på dansk, og har også en mengde trivia om pi. Må i tillegg ta med denne fra en av de mest brukte forfatterene i hovedoppgaven min, Tom W. Körner; http://plus.maths.org/content/what-area-circle.

Har du sett Requiem for a dream? Kanskje ikke like kjent og grandios er filmen denne regissøren laget før denne klassikeren. Det er nemlig en film som heter (du gjetter det nok..) "pi", og som handler om en som går litt fra forstanden over å finne mønstre i aksjemarkedet ut fra desimalene i pi. Se trailer her: http://www.youtube.com/watch?v=zQYYGwYTPuY

Youtube er full av andre pi-filmer, og andre videotilbydere har også sin andel: http://www.qwiki.com/q/#!/Pi_Day , http://www.collegehumor.com/video:1948828 er noen eksempler.

Det er mange merkelige steder pi dukker opp, jeg går ut fra at det skyldes sirkelen. Pi er som kjent definert som forholdet mellom omkrets og diameter av en sirkel, og sirkelen står historisk sett som en ganske "perfekt" form. Blant de rare måtene å finne verdien for pi på finner vi blant annet pilkast på sirkelskive og Buffons nåleeksperiment.

Et tidligere innlegg om pi fikk denne siden som kommentar: http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/ 

Da er det bare å glede seg til PI approximation day... mmm....pi...

Klassisk "bevis": Sirkelareal

I årenes løp har jeg fått såpass mange spørsmål om arealformelen for sirkelen at jeg liksågodt legger ut en måte å forklare den på her. Denne måten å argumentere for formelen (for det er ikke noe formelt bevis) er nok den mest kjente og brukt i mange (de fleste?) lærebøker der temaet forekommer.
Ved HiST bruker vi det suverene (og litt vanskelige) læreverket Ypsilon i en bokserie fra danske fagdidaktikere. Der betegnes slike bevis - og denne veldig viktige ideen - for oppklippingsbevis.

Sirkelens areal

Lysbildeserien er egentlig bare en slideshareifisert versjon av en litt større fil med flere arealformler og sammenhenger mellom og inni de. Synes det ble ganske bra resultat, men det var en plage å skulle lage nøyaktige animasjoner i PowerPoint...

For mye kalkulator

http://www.aftenposten.no/nyheter/iriks/article4056765.ece

Litt vittig at en artikkel om at man må fokusere på forståelse, altså ikke kalkulatortrykking, blir akkompagnert av divisjonsalgoritmen. Attpåtil en amerikanifisert versjon, ser det ut til. For den vet vi jo at ungene skjønner alt om når de er ferdige med grunnskolen... Kunne ikke artikkelen like gjerne handle om at vi bruker for mye divisjonsalgoritme...?

(Var det ikke en artikkel for ca. 10 år sida der det ble slått opp med krigstyper at halvparten av ingeniørstudentene ved NTNU ikke klarte å dele to tall på hverandre for hånd?)

Polsk multiplikasjonsmagi

Kom over denne via StumbleUpon:

Opp, opp og bort! (Eller up, up and away...)

Disney var konger av animasjon, og de holder fortsatt koken, om enn ikke like ofte. Filmen UP! (eller Se opp, som den heter på norsk) fra 2009 er en av de mest familievennlige og knallbra gjennomført animasjonsfilmene i den senere tid. Etter å ha gjort unna noen ekstremt vellagde og hjerteskjærende scener i første del av filmen kommer høydepunktet når Fredriksen stikker av fra alt ved å fly til værs med heliumballonger, bundet til huset sitt.

På Disneys hjemmesider kan du laste ned en fin-fin pdf som du kan printe ut, klippe ut og lime sammen til å lage ditt eget ballongdrevne hus.
Til høyre ser du den som Mari og jeg har laget og hengt opp på rommet!


Man blir jo nysgjerrig av sånt - hadde det gått an å sende et hus opp med heliumballonger? Svaret er "ja, selvfølgelig, om man har mange nok". Hvor mange trengs?

Vel.

Først og fremst må vi få et (veldig tilfeldig) anslag på husets vekt. Et gammelt nettstedoppslag fra 2007 (http://orakelet.info/5166) forteller oss at et standard hus på 100 kvadratmeter inneholder omtrent 45.000 kg. murstein, 80 kg. el. ledninger, 210 kg. rør, 1050 kg. takspon, 50 kg. spiker, 350 kg. gulv, og gulvbelegg, 1200 kg vinduer og dører og 17.000 kg. planker, kryssfinér og generelt tømmer. Det gir en totalvekt på 65 tonn. Jeg tar utgangspunkt i vårt eget hus, på omtrent 150 kvadratmeter fordelt på 2.5 etasjer (eller hvordan det nå skal regnes), slik at husets vekt blir 65 tonn \(\cdot\) 1.5 = 97.5$ tonn. Vi sier hundre tonn. 

I følge dette nettstedet kan en normal heliumsballong løfte omtrent 1.3 gram.  Det vil si at det trengs \(\frac{100 tonn \cdot 1000 kg/tonn \cdot 1000 gram/kg} {1.3 gram} = 7.69\cdot10^7\) ballonger. Eller ca. 77 millioner ballonger. Nå må man selvsagt også ta med at f.eks. ei litt tung bok trenger ca. fire-fem hundre ballonger ekstra for å lette osv, så dette tallet må oppjusteres kraftig hvis man skal telle med alt det vi samler sammen av skrot i løpet av et liv. Vi lar det ligge (både utregningen og skrotet). I filmen brukte animatørene i overkant av tjue tusen ballonger i scenen der huset tar av. Det vil si, man måtte ha hatt fire tusen ganger så mange for å få til dette i virkeligheten.

Tenk deg at vi kunne ordnet ballongene fint i rader og rekker på en fotballbane, da ville vi med vanlige ballonger (ca. tjue cm bred?)  kunne få plass til ca. 525 ballonger i lengden og 350 i bredden.  Da ville vi måtte lage stabelen 400-500 meter høy for å ha nok til å lette huset. 

I tillegg måtte du nok ha regnet med ca. 12 år for å blåse dem opp, hvis du skulle blåst opp en ballong på fem sekunder.

Noen tok visst dette litt for bokstavelig og vi fikk Balloon boy hoaxen som var mye i media i 2009.  Men det fins faktisk pålitelige kilder for at noen har vært dumme nok til å sette seg i en stol med tilstrekkelig helium rundt seg. Bare se på denne fra velkjente Darwin Awards: http://www.darwinawards.com/stupid/stupid1998-11.html 


EDIT:
Det måtte komme noen som prøvde dette i praksis, og her er videoen som beviser det: http://www.vgtv.no/#id=38222. Riktignok et hus på et tonn og et crew på nok et tonn, men vi ser ideen :)

 

Klassiker: Arealbiten som forsvinner

Det er klart for en ny klassiker her. Som vanlig fins det flere varianter av disse klassiske problemene jeg presenterer. Oppgaven under er også publisert som kvadrat-oppgave. Som du ser er arealet av øverste figur13*5 / 2 = 32.5. Ved å flytte rundt på brikkene så må arealet selvsagt bli det samme, så hvor i all verden blir det av den kvadratiske biten som mangler i bildet under?

Har ingen god referanse til originalen, dette bildet fins i utallige varianter på Internett.

Klassiker: Flytting av væske

Nok en klassiker i dag! Se på denne videoen fra Dan Meyers eminente blog, dy/dan.

[WCYDWT] Coke v. Sprite from Dan Meyer on Vimeo.

Her flyttes først en mengde sprite over til colaglasset, så røres det i colaglasset, før den samme mengden blanding flyttes tilbake. Spørsmålet er da, er det mer, mindre eller like mye sprite i colaglasset, som det er cola i spriteglasset? Denne oppgaven har mange varianter, og jeg husker jeg så den første i gang i læreboka vi hadde i matematikk fagdidaktikk, der var det et eksempel med kaffe og melk. Det finnes andre varianter også. Et tips for å løse oppgaven kan være å bytte ut cola- og spritemolekylene med ti røde og ti blå baller :) Du finner nok svaret ved å slå opp i Dans blog og lese kommentarene til denne videoen!

Til den det måtte gjelde...

Jeg har aldri eid en CASIO, men har rett som det er prøvd slike kalkulatorer. Som matematikklærer forventes det av elevene og studentene at man har full oversikt over verktøyene som fins og kjenner tastetrykkene ned til minste detalj. Vel, det gjør jeg ikke og det kommer jeg ikke til å gjøre. Jeg har ofte blitt spurt om CASIO-detaljer, og jeg har funnet denne ressursen, som min tidligere kollega Tor har skrevet, og den svarer på det meste!

http://www.kontorspar.no/images/casio_opplaering_2010.pdf

Zoom it med zoom.it

Ikke spesielt matematikkrelatert kanskje, men følte for å dele denne ressursen likevel. På zoom.it kan du legge inn lenke til et stooort bilde som du har på nettet et sted, og bildet blir så gjort om til et skalerbart og zoombart bilde. Ganske snever funksjonalitet men det fungerer veldig bra til sitt bruk. Man kan kanskje se for seg at dette vil gjøre det enklere å navigere store bilder, grafiske framstillinger eller tabeller på et SMARTboard. Eller på en vanlig datamaskin i klasserommet. Fiffig måte å gå gjennom det periodiske systemet på, for eksempel.

Har ikke så mange store bilder tilgjengelig, men panoramaet av den kjære Meisingsetvågen er iallfall på rundt 21 megabyte. I panoramaet under kan du zoome og flytte rundt på bildet som du vil. Bildekvaliteten er ikke perfekt, men det skyldes nok at det ble tatt for hånd uten stativ.