Klossmajoren

Skikkeleg god kjensle av å vera ferdig med å skrive bok og sjå den i bokhandelen etterpå! (Snikskryt) (Nei forresten, berre skryt.) Under arbeid med forskjellige emne som handla om blokkprogrammering så sakna vi ein stad ein kunne lese både om å lære seg å programmere i Scratch, men samtidig få informasjon om bruk i klasserommet. Så Joakim og eg fekk lov til å skrive ei bok om dette og få den utgjeve på Universitetsforlaget. Vi tykkjer boka vart reint så fin, og kanskje har du ein triveleg rektor som spanderer eit par slike på personalet sitt :) 

Vi har med ein del eksempel frå klasserommet og i tillegg ein del om micro:bit for den som skulle trenge det. 

Blad litt i ho og bestill boka her: https://www.universitetsforlaget.no/kloss-for-kloss . Fortel oss gjerne om kva det skulle ha vore meir eller mindre av eller anna ris og ros!

Heilt på kanten, del 3 - Parabel som geometrisk stad

No har vi kasta tusenvis av punkt på kvadratet og sett at det er omlag 22 % som ligg nærmare sentrum enn sidekantane. Samlinga av punkt som ligg nærmare midta, altså avgrensninga desse samlar seg inni har form av ei slags pute, eller eit kvadrat som har svulma opp litt på sidene. Sjå på figuren her, kor Scratchprosjektet har begynt å teikne opp denne avgrensninga.

For å løyse denne oppgåva må ein finne eksakt det arealet som blir avgrensa av desse fire buane. På grunn av symmetrien i oppgåva så er det jo nok å finne likninga for den eine av desse buane, og så arealet under den. Så kan ein finne arealet av heile pute-kvadratet ved å gange opp og trekke fra - når ein kjem så langt. Denne kurva minner om ein parabel, og ein slik definerast ut frå ei linje og eit punkt. Ein parabel er dei punkta som ligg like langt frå ei styringslinje som frå eit brennpunkt, og ein slik kan vi lage ganske lett i GeoGebra.

     

Her har vi eit punkt F som er fokus/brennpunkt i parabelen, og styrelinja (directrix på engelsk) er x-aksen. Vi lager eit punkt A på x-aksen, dette skal vi bruke til å teikne parabelen for forskjellige x-verdiar. Ved å lage ein midtnormal m mellom F og A vil vi få den samlinga av punkt som ligg like langt frå F som frå A. Men for å måle ein avstand frå x-aksen må vi i tillegg lage ein normal n i A. Da vil skjæringspunktet mellom denne normalen n og den konstruerte midtnormalen m gi oss eit punkt P som ligg like langt frå x-aksen (målt gjennom normalen) som til F (på grunn av midtnormalen). Dreg du i A så ser du at parabelen teiknas. Parabelen er eit av kjeglesnitta, på grunn av at ein kan skjære gjennom ei kjegle og få akkurat denne kurven i skjæringsflaten. 

Den fasongen som denne geometriøvinga framskaffar har mange interessante eigenskapar. M.a. blir den bruka som fasong på parabolantenne, på grunn av eigenskapen at alle linjer (signal) som treffer antenna blir reflektert inn i brennpunktet. Her sitter hodet på parabolantenna og samlar signala. 

Men tilbake til problemet vårt. La oss teikna eit kvadrat i GeoGebra og gjenskape konstruksjonen av parabelen slik at det passer til oppgåva vår. GeoGebra har ein innebygd parabel-konstruksjonsknapp, der ein kan velgje brennpunkt og styringslinje. På biletet under har eg valgt E (midt i kvadratet) som brennpunkt og så laget to kurver der henholdsvis linja y=2 og x=1 er styringslinjer.

Vi kan gjera tilsvarande på venstre side av kvadratet og, slik at vi får definert det øvre området vi skal finne. 

Om vi no ved integrasjon finn arealet under den øvre buen, frå G til F, så vil vi kunne finne heile arealet ved å legge saman å trekke frå. Vi skriv inn kommandoen Integral(c, x(G), x(F)) for å integrere under kurven c frå G til F. Vi må ha med x'ene i x(G) og x(F) for å vise at det er langs x-aksen vi integrerer.

Som vi ser er arealet 1.22. No er det fleire måtar å gjera ferdig oppgåva på, avhengig av kva koordinatar vi har på kvadratets hjørner, men andelen det indre arealet til slutt utgjer skal bli den same uansett. Vi finn ikkje ei eksakt løysing på denne måten uansett, så vi fortset med desimaltal. Ein måte er å dele det blå arealet i to, med ei linje mellom G og F. Det nederste vil da vera eit rektangel med hjørner vi finn i GeoGebra til å vera \((-0.41, 0), (0.41, 0), (-0.41, 1.41)\) og \((0.41, 1.41)\). Arealet av dette rektangelet blir \(0.82 \cdot 1.41 = 1.1562\). Den øvre delen avgrenset av buen mellom G og F og linja gjennom G og F vil ha arealet 1.22 - 1.1562 = 0.0638. I putekvadratet har vi fire slike, totalt 0.2552. I tillegg treng vi arealet av kvadratet i midten. Bredden av dette veit vi er 0.82, så arealet av dette kvadratet blir 0.6724. Totalt blir altså putearealet 0.9276 når vi legg samman. 

Vi skulle jo ha andelen dette arealet utgjer av heile det store kvadratet, som har areal 4. Da får vi til slutt \(\frac{0.9726}{4} = 0.2319\). Eller ca. 23.2 %. Her har vi rundet av nokre verdiar undervegs. Det er til dømes nærliggjande å tru at 1.41 har med kvadratrota av 2 å gjera, slik at vi allereie i starten er litt unøyaktige. La oss sjå om GeoGebra gir oss eit litt meir nøyaktig svar: 

GeoGebra oppgir at heile arealet under buen GF er 1.219. Vidare er arealet av kvadraret GIHF oppgitt til 0.6863. Arealet av rektangelet KLHI er 0.483. Her kan vi finne det søkte arealet som \(4\cdot (1.219 - 0.6863-0.4853) + 0.6863 = 0.8759\). Andelen blir så \(\frac{0.8759}{4} = 21.9 %\). 

Konklusjonen blir at 21.9 % av arealet av eit kvadrat ligg nærmare sentrum i kvadratet enn kanten. 

Fugletetraederet, del 79472667

 Dette prosjektet har eg vel skrive om mange gongar, og det er som ein seier, "a good problem is one that never stops giving." (Eg anar ikkje kven som sa det).

Den første artikkelen eg fekk publisert aleine var ein tangenten-artikkel som viste korleis ein kunne brette fugletetraederet, og rekne ut areal av sidene og volum av heile figuren. Dette var i 2005 og ein del år seinare publiserte eg ein oppdatert versjon i Mathematics teacher. 

Fugletetraederet har seks side, og når ein ser det frå ei side så kan det sjå ut som om det har tre side. Om ein ønskjer å fargeleggje desse tre sidene med fire farger får ein brikkane til det som heiter MacMahons puzzle. 

Når eg no for litt sidan fekk kjøpt ein 3D-skrivar har eg sjølvsagt laga malar for å printe dette puslespelet. Du kan finne desse her: https://www.tinkercad.com/things/5fZpa8dKoIT. Her har du den flate projiseringa av fugletetraederet ni gonger på ei utskrift. Ta tre slike utskrifter så er du sikker på å ha nok til å fargeleggje.

Så gjeld det berre å finne ein fin måte å få fargelagt desse bitane på, med fire farger... 

Heilt på kanten, del 2 - Monte Carlo til unnsetning!

Etter å ha sett som snaret på Monte Carlo-metodar, kan vi skifte fokus til problemet vårt. Vi skulle altså løyse oppgåva

Kor stor del av eit kvadrat ligg nærmare sentrum enn kanten?

Umiddelbart klarte eg ikkje å sjå for meg korleis dette arealet ser ut, så eg brukte da Monte Carlo-metoden igjen for å få ein peikepinn. Her er Scratch-prosjektet eg laga for å finne ut meir om dette arealet.

I prosjektet over teiknast det eit kvadrat, som eg så hivar mange prikkar inni. Det kjem tusen prikkar kvar gong du trykker på mellomrom-tasten. Det blir så rekna ut kor mange som ligg nærmare sentrum enn ein av sidekantane, og talet som blyanten utbasunerer er andelen av punkta som ligg nærmare sentrum så langt i simuleringa. Dette var litt meir møysommeleg å rekne ut enn når det gjaldt å estimere \(\pi\). Dette skyldes at det er lettare å rekne ut avstand til periferien til ein sirkel enn til ein kvadrat. Ein må her sjå på avstanden til alle sidekantane og avstand til sentrum og så finne ut kva som var minst. Så fargelegges punktet raudt om det ligg nærmast sentrum og lilla om det ligg nærmare ein sidekant. Kast nokre tusen prikkar på kvadratet og du vil sjå at området som blir definert som nærmare sentrum både har litt form av eit kvadrat og litt form av ein sirkel. Naturleg nok kanskje, men ikkje heilt enkelt å sjå for seg umiddelbart (iallfall ikkje for meg!).

Til slutt kan du trykke K-tasten for å teikne kurva som omsluttar det raude arealet. Men kor stort er det? Kva form har det? Og korleis kan ein finne ut arealet av det? Det får bli neste post.

Heilt på kanten, del 1 - Monte Carlo

 Ei uskyldig lita oppgåve dukka opp ein dag:

Altså:

Kor stor del av eit kvadrat ligg nærare sentrum enn kanten?

Oppgåva kom frå nettsida mathigon.org, som ofte sender ut slike oppgåver på sosiale media. Mathigon er eigentleg ei interaktiv side som gjer det mogleg å bruke forskjellige digitale versjonar av konkretiseringsmateriale, veldig godt eigna for digital fjernundervisning. Denne oppgåva kan løysast eksakt eller tilnærma/numerisk. Det er jo freistande å berre stoppe der ("I think I'll stop there!"), men eg tenkte å lage eit forslag til løysing her så om du vil prøva sjølv så er det iallfall her du må stoppe lesinga. 

Simulering

Først ville eg sjå korleis dette området eigentleg såg ut. Ein velkjend "brute force"-metode er Monte Carlo-metoden. Det vil seie at ein bruker gjentatte tilfeldige eksperiment (stokastiske forsøk) til å simulere utfall for å kunne estimere noko numerisk. Du har kanskje sett korleis ein kan bruke ein slik måte til å estimere pi med. La oss ta det først. 

I Scratch-prosjektet over blir det "kasta ei mengd med prikkar på skjermen". Prikkane som havnar innafor ein gitt sirkel får ei farge (lilla) og dei som havnar utanfor får ei anna farge (grøn). Når ein kastar svært mange prikkar på skjermen vil talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikker totalt bli meir og meir likt andelen sirkelarealet utgjer av heile kvadratet. Ved å køyre simulatoren over så ser du at ein så kan bruke dette til å estimere \(\pi\). 

For å klårgjere det litt meir: Ein kan gjere det litt lettare ved å tenkje seg sirkelen med radius 1. Då vil kvadratet rundt ha areal 4, medan sirkelen vil ha areal \(\pi\). Talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikkar totalt vil gi eit estimatet på forholdet pi/4. Eit estimat for pi vil da bli \(\frac{4 \cdot \text{talet på prikkar inni}}{\text{prikkar totalt}}\). Ved å la simulatoren gå ei stund ser du korleis dette vil nærma seg \(\pi\approx 3.14\) etter kvart.

I neste innlegg skal vi sjå på korleis vi kan bruke Monte Carlo-metoden til å få innblikk i det opprinnelege problemet vi skal løyse.