Heilt på kanten, del 3 - Parabel som geometrisk stad

No har vi kasta tusenvis av punkt på kvadratet og sett at det er omlag 22 % som ligg nærmare sentrum enn sidekantane. Samlinga av punkt som ligg nærmare midta, altså avgrensninga desse samlar seg inni har form av ei slags pute, eller eit kvadrat som har svulma opp litt på sidene. Sjå på figuren her, kor Scratchprosjektet har begynt å teikne opp denne avgrensninga.

For å løyse denne oppgåva må ein finne eksakt det arealet som blir avgrensa av desse fire buane. På grunn av symmetrien i oppgåva så er det jo nok å finne likninga for den eine av desse buane, og så arealet under den. Så kan ein finne arealet av heile pute-kvadratet ved å gange opp og trekke fra - når ein kjem så langt. Denne kurva minner om ein parabel, og ein slik definerast ut frå ei linje og eit punkt. Ein parabel er dei punkta som ligg like langt frå ei styringslinje som frå eit brennpunkt, og ein slik kan vi lage ganske lett i GeoGebra.

     

Her har vi eit punkt F som er fokus/brennpunkt i parabelen, og styrelinja (directrix på engelsk) er x-aksen. Vi lager eit punkt A på x-aksen, dette skal vi bruke til å teikne parabelen for forskjellige x-verdiar. Ved å lage ein midtnormal m mellom F og A vil vi få den samlinga av punkt som ligg like langt frå F som frå A. Men for å måle ein avstand frå x-aksen må vi i tillegg lage ein normal n i A. Da vil skjæringspunktet mellom denne normalen n og den konstruerte midtnormalen m gi oss eit punkt P som ligg like langt frå x-aksen (målt gjennom normalen) som til F (på grunn av midtnormalen). Dreg du i A så ser du at parabelen teiknas. Parabelen er eit av kjeglesnitta, på grunn av at ein kan skjære gjennom ei kjegle og få akkurat denne kurven i skjæringsflaten. 

Den fasongen som denne geometriøvinga framskaffar har mange interessante eigenskapar. M.a. blir den bruka som fasong på parabolantenne, på grunn av eigenskapen at alle linjer (signal) som treffer antenna blir reflektert inn i brennpunktet. Her sitter hodet på parabolantenna og samlar signala. 

Men tilbake til problemet vårt. La oss teikna eit kvadrat i GeoGebra og gjenskape konstruksjonen av parabelen slik at det passer til oppgåva vår. GeoGebra har ein innebygd parabel-konstruksjonsknapp, der ein kan velgje brennpunkt og styringslinje. På biletet under har eg valgt E (midt i kvadratet) som brennpunkt og så laget to kurver der henholdsvis linja y=2 og x=1 er styringslinjer.

Vi kan gjera tilsvarande på venstre side av kvadratet og, slik at vi får definert det øvre området vi skal finne. 

Om vi no ved integrasjon finn arealet under den øvre buen, frå G til F, så vil vi kunne finne heile arealet ved å legge saman å trekke frå. Vi skriv inn kommandoen Integral(c, x(G), x(F)) for å integrere under kurven c frå G til F. Vi må ha med x'ene i x(G) og x(F) for å vise at det er langs x-aksen vi integrerer.

Som vi ser er arealet 1.22. No er det fleire måtar å gjera ferdig oppgåva på, avhengig av kva koordinatar vi har på kvadratets hjørner, men andelen det indre arealet til slutt utgjer skal bli den same uansett. Vi finn ikkje ei eksakt løysing på denne måten uansett, så vi fortset med desimaltal. Ein måte er å dele det blå arealet i to, med ei linje mellom G og F. Det nederste vil da vera eit rektangel med hjørner vi finn i GeoGebra til å vera \((-0.41, 0), (0.41, 0), (-0.41, 1.41)\) og \((0.41, 1.41)\). Arealet av dette rektangelet blir \(0.82 \cdot 1.41 = 1.1562\). Den øvre delen avgrenset av buen mellom G og F og linja gjennom G og F vil ha arealet 1.22 - 1.1562 = 0.0638. I putekvadratet har vi fire slike, totalt 0.2552. I tillegg treng vi arealet av kvadratet i midten. Bredden av dette veit vi er 0.82, så arealet av dette kvadratet blir 0.6724. Totalt blir altså putearealet 0.9276 når vi legg samman. 

Vi skulle jo ha andelen dette arealet utgjer av heile det store kvadratet, som har areal 4. Da får vi til slutt \(\frac{0.9726}{4} = 0.2319\). Eller ca. 23.2 %. Her har vi rundet av nokre verdiar undervegs. Det er til dømes nærliggjande å tru at 1.41 har med kvadratrota av 2 å gjera, slik at vi allereie i starten er litt unøyaktige. La oss sjå om GeoGebra gir oss eit litt meir nøyaktig svar: 

GeoGebra oppgir at heile arealet under buen GF er 1.219. Vidare er arealet av kvadraret GIHF oppgitt til 0.6863. Arealet av rektangelet KLHI er 0.483. Her kan vi finne det søkte arealet som \(4\cdot (1.219 - 0.6863-0.4853) + 0.6863 = 0.8759\). Andelen blir så \(\frac{0.8759}{4} = 21.9 %\). 

Konklusjonen blir at 21.9 % av arealet av eit kvadrat ligg nærmare sentrum i kvadratet enn kanten.