Årets Fieldsmedalje

Vart tipsa om denne artikkelen om årets tildeling av Fieldsmedaljen. Denne gikk til June Huh, og eg må seie det var ein fryd å lese denne presentasjonen av vinnaren. Slik skal det gjerast :)

https://www.quantamagazine.org/june-huh-high-school-dropout-wins-the-fields-medal-20220705/ 

Matematikklæraren

Denne bloggen heiter jo eigentleg Matematikklæraren, sjølv om den ei stund hadde namn frå den tullete URL'n eg valde for snart tjue år sida (altså "mattegreier"). Omtrent på same tid som namneskiftet jobba eg med starten på det som vart eit langvarig prosjekt med å samle teikningar. Første timen eg hadde med nye lærarstudentar brukte eg alltid aktiviteten "Teikn ein matematikklærar" og samla inn teikningane dei laga. Det vart med tid og stunder (12-13 år) eit stort materiale som fortalde oss noko om korleis nye studentar såg for seg at ein matematikklærar såg ut. 

Materialet vart analysert både kvantitativt og kvalitativt og den kvantitative delen, kor vi foretok ei cluster-analyse, vart publisert her: https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/14794802.2022.2041471. Her ser vi mellom anna på korleis typiske karakteristika som opererer i lag på slike teikningar. Det kan til dømes vera at det er typisk at kvinner underviser enkel aritmetikk og at menn underviser komplisert algebra. Korfor kan det vere ei oppfatting som har sementert seg? 

Vi fann og ut at andelen kvinner som blir teikna er stigande, noko som må seiast å vera eit gledeleg resultat. Då eg begynte prosjektet  var det nesten berre menn som vart teikna, og det var nesten berre kvinnelege lærarstudentar, heilt klart ein rar tendens.

Artikkelen har for øvrig fått ganske god mottaking, og er akkurat no den nest mest leste av dei som ventar publisering (dei publiserer ikkje ofte journalutgåver). Ikkje alle var like imponerte, rett nok. Her er eit utdråg frå twitter etter at ein kar hadde lenket til ein "interessant studie frå Noreg" :)

Heilt på kanten - del 4. Nok unøyaktigheit!

OK, så fann vi arealet litt unøyaktig, men når ein såg at koordinatane for hjørna i "putekvadratet" var noko med 1.41... så kan ein jo tenkje at dette vel må gå an å finne eksakt! Men om vi skal utføre denne integrasjonen eksakt så må vi og ha eksakte koordinatar for F og G (sjå figuren under).

Vi treng altså likninga for kurva som går gjennom G og F. No har vi jo konstruert denne som ein parabel så vi veit det må bli ei andregradskurve. La oss seie brennpunktet E har koordinatar \((p,q)\). Og styringslinja er \(y=r\).  Den generelle andregradskurva er gitt ved formelen 

\[y=a(x-h)^2+k\]

Vi ønskjer altså å finne a, h og k. Her er \((h,k)\) toppunktet til parabelen. Vi veit at dette toppunktet er halvvegs mellom styringslinja og brennpunktet. Da må y-koordinaten til toppunktet vera \(\frac{q+r}{2}\). Dette gir at \(h = p\) og \(k =\frac{q+r}{2}\). Vi kan bruke våre eksakte verdiar uten å tape generalitet i denne oppgåva. I vårt tilfelle er \(h=p=0\) og \(y=r=2\). Da blir \(k=\frac{3}{2}\). 

Når vi har konstruert parabelen slik vi har gjort ser vi at (1,1) må vera eit punkt på parabelen, da det ligg like langt frå E som C. 

Da blir likninga til slutt \[y=a(x-h)^2+k=a(x-0)^2+\frac{3}{2}=ax^2+\frac{3}{2}\].

Sett vi inn \((x,y)=(1,1)\) i likninga får vi at \(1=a+\frac{3}{2}\), slik at \(a=-\frac{1}{2}\). Likninga for parabelen blir:

 \[y=-\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{3}{2}.\]

Men korleis finn vi koordinatane til F og G, det er jo der vi skal integrere mellom? Pytagoras gir oss at \(EC=\sqrt 2\). Vi får at \(EC+\sqrt(2)\cdot EC=\sqrt(2)\). Slik får vi at F har koordinatane \((\sqrt(2)-1, \sqrt 2)\). Symmetri gir at \(G=((1-\sqrt 2, \sqrt 2)\).  Då kan vi integrere for å finne det blå arealet i figuren over: 

\[\int_{1-\sqrt 2}^{\sqrt 2-1} \frac{-1}{2}x^2+\frac{3}{2} \,dx=\frac{4}{3}\sqrt 2-\frac{2}{3}\approx 1.22.\]

Dette er altså det blå arealet på figuren. Arealet av rektangelet KLFG (sjå figur nedanfor) blir \( (\sqrt 2 -1 - (1-\sqrt 2 ))\cdot \sqrt 2 = 4-2\cdot \sqrt 2\). Arealet avgrensa av buen mellom F og G og linja gjennom F og G blir da  \[\frac{4}{3}\sqrt 2 -\frac{2}{3}-4-2\sqrt 2=\frac{10\cdot \sqrt 2}{3}-\frac{14}{3}\approx 0.047.\]

For å finne det endelege arealet treng vi fire av desse, samt kvadratet \( (2\cdot \sqrt 2 -2)^2=12-8\cdot \sqrt 2\). Totalt blir det altså: 

\[ 4\cdot (\frac{10\sqrt 2}{3}-\frac{14}{3})+12-8\cdot \sqrt 2 = \frac{16\cdot \sqrt 2}{3}-\frac{20}{3} \approx 0.88\].

Og så til slutt må vi sjå kor stor andel dette utgjer av kvadratet på 4, som blir \[\frac{16\cdot \sqrt 2}{12}-\frac{20}{12}\approx 0.22.\]

Sjå figuren for å sjå dei forskjellige areala.

Algebraen ovanfor er ikkje spesielt vanskeleg, men om ein ikkje gidd gjere alle kvadreringane kan ein bruke til dømes GeoGebra sitt CAS-verktøy for å finne desse forenklingane av uttrykka. Svaret vi har fått gjeld generelt, det er alltid ca. 22 prosent av punkta i eit kvadrat som ligg nærmare sentrum enn kanten, men vi har vore litt sleipe når vi valde kor kvadratet er teikna hen. Ein kunne sikkert gjort det enda enklare for seg sjølv med å vald eit kvadrat der AB går frå 0 til 1 på x-aksen eller liknande.

Så kan vi jo legge til den litt meir direkte metoden for å finne likninga for ein parabel. I til dømes matematikkemnet 3MX fram reform 94 var dette eit kjend tema. Eit av resultata derifrå var at 

Ein parabel med toppunkt i origo og \((0,\frac{p}{2})\) som brennpunkt har likninga \[x^2 =2py\].

Ein slik parabel har \(y=-\frac{p}{2}\) som styringslinje. I vårt høve er situasjonen at toppunktet ligg på (0, 3/2).  Flytter vi heile oppgåva vår ned 3/2, får vi altså situasjonen beskrevet i definisjonen. Parabalen får da toppunkt på (0,0), brennpunktet blir (0,-1/2), slik at p=-1. Likninga er \(x^2 = 2py\) slik a vi får \(y = -\frac{1}{4} x^2\). Men så må vi flytte opp 3/2 så likninga til slutt blir \[y=-\frac{1}{4}x^2 +\frac{3}{2}.\]

Klossmajoren

Skikkeleg god kjensle av å vera ferdig med å skrive bok og sjå den i bokhandelen etterpå! (Snikskryt) (Nei forresten, berre skryt.) Under arbeid med forskjellige emne som handla om blokkprogrammering så sakna vi ein stad ein kunne lese både om å lære seg å programmere i Scratch, men samtidig få informasjon om bruk i klasserommet. Så Joakim og eg fekk lov til å skrive ei bok om dette og få den utgjeve på Universitetsforlaget. Vi tykkjer boka vart reint så fin, og kanskje har du ein triveleg rektor som spanderer eit par slike på personalet sitt :) 

Vi har med ein del eksempel frå klasserommet og i tillegg ein del om micro:bit for den som skulle trenge det. 

Blad litt i ho og bestill boka her: https://www.universitetsforlaget.no/kloss-for-kloss . Fortel oss gjerne om kva det skulle ha vore meir eller mindre av eller anna ris og ros!

Heilt på kanten, del 3 - Parabel som geometrisk stad

No har vi kasta tusenvis av punkt på kvadratet og sett at det er omlag 22 % som ligg nærmare sentrum enn sidekantane. Samlinga av punkt som ligg nærmare midta, altså avgrensninga desse samlar seg inni har form av ei slags pute, eller eit kvadrat som har svulma opp litt på sidene. Sjå på figuren her, kor Scratchprosjektet har begynt å teikne opp denne avgrensninga.

For å løyse denne oppgåva må ein finne eksakt det arealet som blir avgrensa av desse fire buane. På grunn av symmetrien i oppgåva så er det jo nok å finne likninga for den eine av desse buane, og så arealet under den. Så kan ein finne arealet av heile pute-kvadratet ved å gange opp og trekke fra - når ein kjem så langt. Denne kurva minner om ein parabel, og ein slik definerast ut frå ei linje og eit punkt. Ein parabel er dei punkta som ligg like langt frå ei styringslinje som frå eit brennpunkt, og ein slik kan vi lage ganske lett i GeoGebra.

     

Her har vi eit punkt F som er fokus/brennpunkt i parabelen, og styrelinja (directrix på engelsk) er x-aksen. Vi lager eit punkt A på x-aksen, dette skal vi bruke til å teikne parabelen for forskjellige x-verdiar. Ved å lage ein midtnormal m mellom F og A vil vi få den samlinga av punkt som ligg like langt frå F som frå A. Men for å måle ein avstand frå x-aksen må vi i tillegg lage ein normal n i A. Da vil skjæringspunktet mellom denne normalen n og den konstruerte midtnormalen m gi oss eit punkt P som ligg like langt frå x-aksen (målt gjennom normalen) som til F (på grunn av midtnormalen). Dreg du i A så ser du at parabelen teiknas. Parabelen er eit av kjeglesnitta, på grunn av at ein kan skjære gjennom ei kjegle og få akkurat denne kurven i skjæringsflaten. 

Den fasongen som denne geometriøvinga framskaffar har mange interessante eigenskapar. M.a. blir den bruka som fasong på parabolantenne, på grunn av eigenskapen at alle linjer (signal) som treffer antenna blir reflektert inn i brennpunktet. Her sitter hodet på parabolantenna og samlar signala. 

Men tilbake til problemet vårt. La oss teikna eit kvadrat i GeoGebra og gjenskape konstruksjonen av parabelen slik at det passer til oppgåva vår. GeoGebra har ein innebygd parabel-konstruksjonsknapp, der ein kan velgje brennpunkt og styringslinje. På biletet under har eg valgt E (midt i kvadratet) som brennpunkt og så laget to kurver der henholdsvis linja y=2 og x=1 er styringslinjer.

Vi kan gjera tilsvarande på venstre side av kvadratet og, slik at vi får definert det øvre området vi skal finne. 

Om vi no ved integrasjon finn arealet under den øvre buen, frå G til F, så vil vi kunne finne heile arealet ved å legge saman å trekke frå. Vi skriv inn kommandoen Integral(c, x(G), x(F)) for å integrere under kurven c frå G til F. Vi må ha med x'ene i x(G) og x(F) for å vise at det er langs x-aksen vi integrerer.

Som vi ser er arealet 1.22. No er det fleire måtar å gjera ferdig oppgåva på, avhengig av kva koordinatar vi har på kvadratets hjørner, men andelen det indre arealet til slutt utgjer skal bli den same uansett. Vi finn ikkje ei eksakt løysing på denne måten uansett, så vi fortset med desimaltal. Ein måte er å dele det blå arealet i to, med ei linje mellom G og F. Det nederste vil da vera eit rektangel med hjørner vi finn i GeoGebra til å vera \((-0.41, 0), (0.41, 0), (-0.41, 1.41)\) og \((0.41, 1.41)\). Arealet av dette rektangelet blir \(0.82 \cdot 1.41 = 1.1562\). Den øvre delen avgrenset av buen mellom G og F og linja gjennom G og F vil ha arealet 1.22 - 1.1562 = 0.0638. I putekvadratet har vi fire slike, totalt 0.2552. I tillegg treng vi arealet av kvadratet i midten. Bredden av dette veit vi er 0.82, så arealet av dette kvadratet blir 0.6724. Totalt blir altså putearealet 0.9276 når vi legg samman. 

Vi skulle jo ha andelen dette arealet utgjer av heile det store kvadratet, som har areal 4. Da får vi til slutt \(\frac{0.9726}{4} = 0.2319\). Eller ca. 23.2 %. Her har vi rundet av nokre verdiar undervegs. Det er til dømes nærliggjande å tru at 1.41 har med kvadratrota av 2 å gjera, slik at vi allereie i starten er litt unøyaktige. La oss sjå om GeoGebra gir oss eit litt meir nøyaktig svar: 

GeoGebra oppgir at heile arealet under buen GF er 1.219. Vidare er arealet av kvadraret GIHF oppgitt til 0.6863. Arealet av rektangelet KLHI er 0.483. Her kan vi finne det søkte arealet som \(4\cdot (1.219 - 0.6863-0.4853) + 0.6863 = 0.8759\). Andelen blir så \(\frac{0.8759}{4} = 21.9 %\). 

Konklusjonen blir at 21.9 % av arealet av eit kvadrat ligg nærmare sentrum i kvadratet enn kanten. 

Fugletetraederet, del 79472667

 Dette prosjektet har eg vel skrive om mange gongar, og det er som ein seier, "a good problem is one that never stops giving." (Eg anar ikkje kven som sa det).

Den første artikkelen eg fekk publisert aleine var ein tangenten-artikkel som viste korleis ein kunne brette fugletetraederet, og rekne ut areal av sidene og volum av heile figuren. Dette var i 2005 og ein del år seinare publiserte eg ein oppdatert versjon i Mathematics teacher. 

Fugletetraederet har seks side, og når ein ser det frå ei side så kan det sjå ut som om det har tre side. Om ein ønskjer å fargeleggje desse tre sidene med fire farger får ein brikkane til det som heiter MacMahons puzzle. 

Når eg no for litt sidan fekk kjøpt ein 3D-skrivar har eg sjølvsagt laga malar for å printe dette puslespelet. Du kan finne desse her: https://www.tinkercad.com/things/5fZpa8dKoIT. Her har du den flate projiseringa av fugletetraederet ni gonger på ei utskrift. Ta tre slike utskrifter så er du sikker på å ha nok til å fargeleggje.

Så gjeld det berre å finne ein fin måte å få fargelagt desse bitane på, med fire farger... 

Heilt på kanten, del 2 - Monte Carlo til unnsetning!

Etter å ha sett som snaret på Monte Carlo-metodar, kan vi skifte fokus til problemet vårt. Vi skulle altså løyse oppgåva

Kor stor del av eit kvadrat ligg nærmare sentrum enn kanten?

Umiddelbart klarte eg ikkje å sjå for meg korleis dette arealet ser ut, så eg brukte da Monte Carlo-metoden igjen for å få ein peikepinn. Her er Scratch-prosjektet eg laga for å finne ut meir om dette arealet.

I prosjektet over teiknast det eit kvadrat, som eg så hivar mange prikkar inni. Det kjem tusen prikkar kvar gong du trykker på mellomrom-tasten. Det blir så rekna ut kor mange som ligg nærmare sentrum enn ein av sidekantane, og talet som blyanten utbasunerer er andelen av punkta som ligg nærmare sentrum så langt i simuleringa. Dette var litt meir møysommeleg å rekne ut enn når det gjaldt å estimere \(\pi\). Dette skyldes at det er lettare å rekne ut avstand til periferien til ein sirkel enn til ein kvadrat. Ein må her sjå på avstanden til alle sidekantane og avstand til sentrum og så finne ut kva som var minst. Så fargelegges punktet raudt om det ligg nærmast sentrum og lilla om det ligg nærmare ein sidekant. Kast nokre tusen prikkar på kvadratet og du vil sjå at området som blir definert som nærmare sentrum både har litt form av eit kvadrat og litt form av ein sirkel. Naturleg nok kanskje, men ikkje heilt enkelt å sjå for seg umiddelbart (iallfall ikkje for meg!).

Til slutt kan du trykke K-tasten for å teikne kurva som omsluttar det raude arealet. Men kor stort er det? Kva form har det? Og korleis kan ein finne ut arealet av det? Det får bli neste post.

Heilt på kanten, del 1 - Monte Carlo

 Ei uskyldig lita oppgåve dukka opp ein dag:

Altså:

Kor stor del av eit kvadrat ligg nærare sentrum enn kanten?

Oppgåva kom frå nettsida mathigon.org, som ofte sender ut slike oppgåver på sosiale media. Mathigon er eigentleg ei interaktiv side som gjer det mogleg å bruke forskjellige digitale versjonar av konkretiseringsmateriale, veldig godt eigna for digital fjernundervisning. Denne oppgåva kan løysast eksakt eller tilnærma/numerisk. Det er jo freistande å berre stoppe der ("I think I'll stop there!"), men eg tenkte å lage eit forslag til løysing her så om du vil prøva sjølv så er det iallfall her du må stoppe lesinga. 

Simulering

Først ville eg sjå korleis dette området eigentleg såg ut. Ein velkjend "brute force"-metode er Monte Carlo-metoden. Det vil seie at ein bruker gjentatte tilfeldige eksperiment (stokastiske forsøk) til å simulere utfall for å kunne estimere noko numerisk. Du har kanskje sett korleis ein kan bruke ein slik måte til å estimere pi med. La oss ta det først. 

I Scratch-prosjektet over blir det "kasta ei mengd med prikkar på skjermen". Prikkane som havnar innafor ein gitt sirkel får ei farge (lilla) og dei som havnar utanfor får ei anna farge (grøn). Når ein kastar svært mange prikkar på skjermen vil talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikker totalt bli meir og meir likt andelen sirkelarealet utgjer av heile kvadratet. Ved å køyre simulatoren over så ser du at ein så kan bruke dette til å estimere \(\pi\). 

For å klårgjere det litt meir: Ein kan gjere det litt lettare ved å tenkje seg sirkelen med radius 1. Då vil kvadratet rundt ha areal 4, medan sirkelen vil ha areal \(\pi\). Talet på prikkar inni sirkelen delt på talet på prikkar totalt vil gi eit estimatet på forholdet pi/4. Eit estimat for pi vil da bli \(\frac{4 \cdot \text{talet på prikkar inni}}{\text{prikkar totalt}}\). Ved å la simulatoren gå ei stund ser du korleis dette vil nærma seg \(\pi\approx 3.14\) etter kvart.

I neste innlegg skal vi sjå på korleis vi kan bruke Monte Carlo-metoden til å få innblikk i det opprinnelege problemet vi skal løyse.

Kjekk kryskap, alle!

Det fins ikkje noko som kan gjera opp for det som skjedde denne helga i Oslo. Ord, kjærleik, samhald, mange ting kan kjennast meiningsfullt og godt, men det er aldri nok. Vi veit så alt for vel at det aldri blir nok regnbogar, aldri nok kjærleik. Ein musikar kan sete seg ned og sete dei vakraste tonar i samanheng, ein poet kan smi dei vakraste orda. Eg kan jo ingen av delane, og det kan sikkert virke rart at nokon i oppgittheit programmerer ei støtte til homofile slektningar, venar, følgjarar, studentar og andre. 

Men det var no det som vart reaksjonen denne gong. 

Dager siden

Eg er litt oppteken av å lage program (anten det er med blokk eller tekst), der eg brukar dei til å løyse reelle problem. Ofte kan det vera litt vanskeleg å finne passande oppgåver til dette, der prosjekta ein lagar både er overkommelege og nyttige. Eit behov dukka opp her om dagen: Korleis kan ein laga eit Scratch-prosjekt som tel talet på dagar sida noko skjedde? Det er ingen openberr innebygd kloss for dette, men ved hjelp av "Dager siden 2000"-klossen kan vi trikse til dette.

 

Denne knappen fortel oss ganske enkelt kor mange dagar det er sida år 2000. Det store talet på desimalar er uinteressant for vår bruk, så vi må runde av. Om vi velger å runde av etter vanlege reglar eller runde opp/ned, får bli ein smaksak alt etter kva ein skal bruke dette prosjektet til. Eg vel å bruke vanleg avrunding, og risikerer ikkje noko meir enn at talet på dagar vekslar midt på dagen. 

Men for at dette prosjektet skal halde styr på dagane sjølv når det ikkje køyrer så må vi bruker skyvariablar. Eg lagar meg ein knapp og legg til følgjande skript på knappen:

 

Når eg nullstiller tellaren ved å trykke på knappen, legger prosjektet inn talet på dagar sida 2000 i skyvariablen dager1. 

Kvar gong eg no køyrer programmet seinare så vil knappen seie talet på dagar sida 2000 minus dager1, som skriptet til høgre viser. Den vil altså telja opp med 1 for kvar dag som går, enten programmet køyrer eller ikkje. Trykkjer eg på knappen vil den nullstille tellaren ved å sette dager1 til det nye talet på dagar sida 2000. 

Her har eg laga ein tellar som tel kor mange dagar det er sida alle i familien har bytta tannkost! 

Vekta av røyk

Ein gong budde i eit kollektiv med ein som ikkje var særleg oppteken av matematikk. Han kom triumferande inn på rommet mitt og lurte på om eg visste korleis ein finn vekta av røyk. Eg hadde aldri tenkt på dette før, men klarte eigentleg ganske raskt å finne ein måte å gjera det på. Han vart litt skuffa. (Her må eg leggje til at eg stort sett ikkje er den som løyser vanskelege Illustrert Vitenskap-oppgåver raskast, men denne oppgåva klarte eg ganske raskt å finne ut av). For den som ikkje allereie har tenkt korleis ein kan gjera dette er løysinga at ein først veiger sigaretten og etterpå veiger oska. I matematikk har vi mange døme på at ein tenkjer slik. Det er eit døme på ein heuristikk. Vi finn eit areal ved å finne eit stort areal og trekkje frå ein bit. Vi finn eit integral ved å ta eit større integral og trekkje frå noko. Vi finn eit sannsyn ved å finne sannsynet for at noko meir skjer og trekkjer frå det som har vorte registrert to gonger. Same med telling av mulegheitar. Vi tell ofte først for mange og trekkjer frå dei vi har tald to gonger. Med eit par år som matematikk og fysikkstudent var det ikkje vanskeleg å løyse denne oppgåva, som min medbuar såg på som eit enormt krevande spørsmål. For meg er dette noko av det matematikk har hjulpet mest med. Finne nokre heuristikkar, tankebanar og tenkemåtar som løyser problem, spesielt problem som liknar på andre problem.

Ofte får ein spørsmålet om kva ein skal bruka matematikken til, iallfall om ein er matematikklærar. Og eg har vel innsett at svaret mitt er lite tilfredsstillande for mange, men det er nettopp det å kunne tenkje på den typen problem, realistiske eller ikkje, relevante eller ikkje, og koma med løysingar på dei. 

På leiting etter kort

I podcasten Abels tårn kom eg over spørsmålet om kor lenge ein måtte leite etter kort før ein har ein komplett kortstokk (https://radio.nrk.no/podkast/abels_taarn/sesong/202107/l_fcf052d9-977d-400a-b052-d9977df00af5). Dette er jo som skapt for eit miniprosjekt i skjæringsfeltet mellom modellering og programmering. Det kom fleire forslag til løysing i podcasten og fleire hadde og brukt simuleringar for å koma fram til sine svar. Her har eg modellert situasjonen i eit lite Scratch-prosjekt. Idèen er lett, ein ser for seg at ein skal lage ei liste med 52 forskjellige tal ved å tilfeldig velge blant 52 tal. Oversett til kulespråk kan ein sjå for seg at det ligg 52 nummererte kuler framom seg. Så plukker ein ei kule, skriv ned talet i liste og legg den tilbake. Prosessen gjentakast og ein skriv heile tida inn tal i lista, så framt talet på kula ein trekkjer ikkje er der frå før. Så held ein tellar styr på kor mange gonger ein har plukka kuler. Det kan vera morosamt å la elevane gjette først. Intuisjonen vår kan ofte vera vanskeleg å stole på. Eg såg til dømes for meg at eg måtte trekkje nokre tusen gonger før eg hadde alle dei 52 tala i lista (som tilsvarar at ein har ein heil kortstokk). Du kan jo prøva sjølv i prosjektet nedanfor.

Spørreundersøking

 I forskingsgruppa eg leiar jobbar vi med innføringa av programmering i matematikkfaget. Vi hadde sett stor pris på alle som hjelper oss ved å svare på denne undersøkinga! 

(Du kan opne den i eige vindu her: https://nettskjema.no/a/230548 )

Katt og mus og bille og...hai?

 Her har eg sett fire dyr i kvart hjørne av eit kvadrat. Kva om no alle desse begynner å jage etter den dei ser framom seg? Klarar du på førehand å sjå for deg kva mønster trasèen til dyra vil følgje?

Start prosjektet ved å trykke på flagget, og trykk på mellomrom for å starte jakten...