The student and professor-problem

Her er et nytt problem i klassikerserien! Denne serien omhandler problemer som av en eller annen grunn blir stående som "gjengangere" og klassikere i matematikken. Nå skal vi se litt på det som er kalt The student and professor problem. Googler du dette får du stort sett opp råd til å hanskes med vanskelige undervisere, vi skal ha et litt annet fokus... Spørsmålet er enkelt:

Write an equation using the variables S and P to represent the following statement:  

‘There are six times as many students as professors at this university.’

Use S for the number of students and P for the number of professors.

Spørsmålet er hentet fra Kaput and Clement (1979). På norsk kan vi si at oppgaven er å skrive et algebraisk uttrykk som representerer at det er seks ganger så mange studenter (S) som professorer (vi bruker L for lærere fra nå av) ved et universitet. 

Man kommer som regel raskt fram til at det er enten S=6L eller L=6S som er riktig. Jeg pleier å bruke dette spørsmålet sammen med studentene på den måten at jeg lar de stemme over hvilket av de to alternativene som de mener er riktig. Før du leser videre bør du prøve det samme, gå inn her og legg igjen din stemme. Du kan se nederst i bloggposten hvordan stemmene fordeler seg (den oppdateres live).

Da jeg gjorde dette i førsteklassen min i 2013 fordelte studentene seg på 14 stemmer for S=6L og også 14 stemmer for L=6S. 

(Hvis du liker slike litt tvetydige spørsmål ligger det noen flere i denne pollen.)

Hvorfor er dette vanskelig? Hva slags tankegang ligger bak?

I en artikkel av Aaron Weinberg nevnes spesielt en tankegang studenter bruker for å tenke rundt problemet.

Og det er en vanlig feil dette, den kalles reverseringsfeilen, der man ser for seg algebraen i tankene etter hvert som man leser problemet og kommer ut med 6S=L når det skrives ned på arket. Artikkelen  på lenka over tar for seg en del arbeide med å prøve å rette opp i en slik feil.

En annen vanlig tankegang er at "Det er flest studenter dermed må vi skrive 6S." 

Hvordan tenkte du?

Referanser
Kaput, J. og Clement, J. (1979). Letter to the editor. Journal of Children's Mathematics. American Mathematical Monthly, 88, 286-290.

Weinberg, A. (2007). New Perspectives On the Student-Professor Problem. Paper presented at the annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, University of Nevada, Reno, Reno, Nevada Online <PDF>. 2013-05-08 from http://citation.allacademic.com/meta/p196032_index.html

Sophus Lie

MK-X!

Tidligere i år etterlyste jeg flere gode programmer for barn, spesielt fra NRK sin side. Vi hadde massevis av lærerike programmer på TV når jeg var liten, men nå er det visst bare Newton igjen. Vel, NRK har begynt å sende en ny serie om matematikk for barn. De første episodene om tall og regning var kjempefine! Ikke like begeistret for episoden om brøk, men jeg synes likevel dette initiativet er veldig flott. Husets seksåring var også fascinert.
Se første episode (og resten) her: http://tv.nrk.no/serie/mk-x/msus49000413/sesong-1/episode-1

Om it's

Vi bruker it's learning på lærerutdanningen på HiST og It's learning er så vidt jeg vet det mest utbredte LMS i bruk i Norge (påstand tatt fra hodet). NTNU har imidlertid besluttet å avvikle samarbeidet med it's learning, så at det er unison jubel omkring denne læringsplatformen er nok ikke tilfelle. Kom over en litt interessant kronikk i bladet Utdanning nr. 11 med påfølgende svar utlagt på nett noe senere. Kjernen i diskusjon ser ut til å være at It's learning er oppfattet av noen (her skriftliggjort av Ingvald Straume) som full av feil, tungvint og gammeldags mens it's learning selv mener de er fremtidsrettet, raske til å fikse "bugs" og veldig fleksibelt.

Personlig mener jeg it's learning har gjort underverker for å skape kommunikasjonen med studentene sine. Før lagde vi websider på egen hånd og egen kveldstid for å gjøre dette. Nå kan man si at å sitte med HTML utover kveldene for å få informert studenter også er tungvint - jeg husker imidlertid at det var veldig lærerikt! Likevel har jeg full forståelse for at dette ikke er noe hvem som helst har interesse for.

Det som _har_ irritert meg med it's learning er kalenderfunksjonen. Jeg etterspurte endringer på denne da jeg jobbet på en skole i Stavanger for en ti års tid siden. Endringer skulle vært rett rundt hjørnet, men jeg venter nå fortsatt. For meg framstår f.eks. Google-kalenderen og til og med Outlookkalenderen uendelig mye mer elegant og praktisk.

Les Ingvald Straumes kronikk her (side 48) og svaret fra it's learning her.

Evolution in action

Mattekjærlighet

Ikke at jeg er så glad i ordet "matte", faget vårt heter da vitterlig matematikk, men nå valgte jeg også i fordums tid "mattegreier" som URL på denne bloggen før jeg egentlig fikk summet meg etter å ha oppdaget bloggingens univers.

Tittelen på posten refererer til et av innleggene i debatten om matematikklærerstudenters begredelige resultater på testing. Testing i seg selv er problematisk nok, og jeg anbefaler at folk leser boka "Kunnskapsbløffen" av Magnus Engen Marsdal som en passende motvekt til testehegemoniet vi holder på å installere her til lands. Eller se til USA og se på reaksjonene som begynner å spre seg der, f.eks. manifestert som filmen The race to nowhere. Som vanlig når resultater uteblir letes det etter syndebukker, og det skrives kronikker annenhver dag og debattinnleggene florerer i kommentarfeltene på nettavisene. Gode kolleger Ole, Anita og Geir hadde for eksempel en fin kronikk der de tar for seg problemet med at mange tror matematikk er en serie fakta og regler som skal pugges og huskes. Videre skriver Eva Grinde  om mattekjærlighet på http://www.dn.no/forsiden/kommentarer/article2501918.ece . I det sistnevnte innlegget skrives det om politikerne som kommer med sine altfor hastige løsninger på problemer som det jammen ikke er lett å forstå. Forskere har jobbet med å forstå hva matematikk er, hvordan det bør læres, hvordan det kan forstås, hvordan det kan brukes osv - i mange, mange år. Men med en gang foreldre eller politikere bekymrer seg over resultater går det ikke mange dagene før noen har kommet med en fiks ferdig løsning.

- Økning av timetallet i matematikk (slik at vi kan gjøre mer av det som har gitt dårlige resultater så langt. Hvordan kan noen tro at dette skal virke? Hvordan kan man tro det er MER som trengs og ikke noe ANNET?)
- Intensivkurs i starten av studiene (slik at man på noen få uker kan lære det som tolv års skolegang har sviktet med? Dette har vært prøvd år ut og år inn ved mange institusjoner, men klarer noen å spa opp resultater om at det gir den ønskede effekt? Er det ikke en total latterliggjøring av den skolen vi faktisk har, og hvem er disse superlærerne som på noen uker skal tette årevis av hull fra skolegangen?)

Jeg har iallfall liten tro på slike løsninger, og det virker som svært få egentlig tror disse tiltakene vil utgjøre noen forskjell. I beste fall kan en lure de lærende til å tro at det hjelper (eller er det i verste fall? Jeg er ikke sikker.)

Eva Grinde skriver om at et annet tiltak er å gjøre matematikken mer relevant for lærerstudenter, men at dette også er et lite gjennomtenkt tiltak, for:

Er ikke forsøk på sukring av mattefaget en viktig årsak til at vi sliter med så lave nivåer, rett og slett fordi matte krever repetitiv innsats til det kjedsommelige og evne til å stå på for å lære noe, selv om det ikke gir øyeblikkelig belønning eller mening?

Og her ser vi noe av det som gjør en slik debatt så vanskelig. Jeg er helt enig i at "sukring" av faget med å gjøre det relevant er fullstendig feil medisin. Men det er ikke fordi at matematikk er repetitiv innsats til det kjedsommelige!
Øystein Djupedal nevnte en gang en undervisning han syntes var så bra fordi elevene tegnet sirkler i snøen i stedet for papir. Skulle for eksempel det være relevant? Jeg utfordrer hvem som helst til å finne realistiske, hverdagsrelevante bruksområder for cosinussetningen eller formelen for løsning av andregradslikninger. Eller ta noe så enkelt som formel for areal av trapes. Hvor ofte har du brukt den? Når brukte du sist likningssystemer med to ukjente? Eller delte to desimaltall på hverandre for hånd? Jeg mener vi gjør ungene en bjørnetjeneste om vi sier at matematikk skal læres fordi det er nyttig. Kanskje er det til og med blank løgn. Det må vi slutte med! Som Helmer Aslaksen sier i Eva Grindes kommentar:

Kjærlighet fungerer bare når den gis uten forbehold. Matematikk må elskes for hva det er, ikke forsøkes omskapt til noe som primært er underholdende, eller først og fremst er nyttig i hverdagen.

Amen to that!

(EDIT: Kunnskapsbløffen er nå på mammutsalg og vel verdt prislappen på 99 kroner.)

EDIT 2: Aldrende diskusjon mellom Matematiker Lindstrøm og Anti-matematiker (?) Befring. Fra bladet Forskning (1999)

Eksempler på bruk av iPad i klasserommet

iPads in Education- Examples from the Classroom from Silvia Rosenthal Tolisano