30 september, 2009

Heksehatten

Den berømte heksehatten er en følge av funksjoner som konvergerer punktvis mot null, men ikke uniformt. Dra i \(n\) for å endre heksehatten. (Har her brukt en glider med hakk/intervaller på 0.1, mens det naturlige hvis man skal regne på dette er å bruke 1 som hakk).
Funksjonen er definert ved \(f_n(x)= n\cdot(1-n\cdot|x-n|)\)














Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)



I algebravinduet kan vi se verdien til det bestemte integralet av heksehatten, fra 0 til 1. Denne verdien endrer seg ikke til tross for at vi endrer på n og lager nye funksjoner.
På figuren ser du at \(h_n(x)\) går mot null for hver \(x\) (PUNKTVIS) når n går mot uendelig, men integralet av funksjonen fra 0 til 1 holder seg konstant når n går mot uendelig.

Sagt på en annen måte: Velg deg en positiv \(x\)-verdi og la denne være fast. (I engelsk litteratur bruker noen uttrykket "KILL that x!") Med en fast \(x\) så vil følgen \({f_n(x)}\) konvergere mot null når \(n\rightarrow\infty\). Hvis vi velger N stor nok, så vil til og med alle \(f_n(x)=0\) for n større enn denne N. Og hvis \(x=0\) så vil hele følgen \(f_n(x)=0\). Totalt kan vi altså si at \(f_n(x)\rightarrow 0\). Det er dette som ligger i det å konvergere punktvis mot nullfunksjonen \(f(x)=0\) på hele intervallet [0,1].
For hver n så vil \(\int_0^1 f_n(x) dx=1\) siden arealet under grafen er lik arealet av trekanten som er skravert.


Altså: \[\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x)dx=1 \neq 0=\int_0^1 \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x) dx \]




Laget av Øistein Gjøvik med GeoGebra
(Les mer om heksehatten på Google Books)

Ref:
Michael Reed: Fundamental ideas of analysis

2 kommentarer:

  1. Skjønte ikke helt dette.

    SvarSlett
  2. :) Ja, når man leser det så må man begynne å lure innimellom.
    Poenget er at dette er en følge av funksjoner som konvergerer på en bestemt måte, nemlig punktvis, men IKKE uniformt.

    Det jeg spurte om på twitter var mest om matematikksymbolene kommer fram hos andre enn meg selv :)

    SvarSlett