Heksehatten

Den berømte heksehatten er en følge av funksjoner som konvergerer punktvis mot null, men ikke uniformt. Dra i \(n\) for å endre heksehatten. (Har her brukt en glider med hakk/intervaller på 0.1, mens det naturlige hvis man skal regne på dette er å bruke 1 som hakk).
Funksjonen er definert ved \(f_n(x)= n\cdot(1-n\cdot|x-n|)\)














Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


I algebravinduet kan vi se verdien til det bestemte integralet av heksehatten, fra 0 til 1. Denne verdien endrer seg ikke til tross for at vi endrer på n og lager nye funksjoner.
På figuren ser du at \(h_n(x)\) går mot null for hver \(x\) (PUNKTVIS) når n går mot uendelig, men integralet av funksjonen fra 0 til 1 holder seg konstant når n går mot uendelig.

Sagt på en annen måte: Velg deg en positiv \(x\)-verdi og la denne være fast. (I engelsk litteratur bruker noen uttrykket "KILL that x!") Med en fast \(x\) så vil følgen \({f_n(x)}\) konvergere mot null når \(n\rightarrow\infty\). Hvis vi velger N stor nok, så vil til og med alle \(f_n(x)=0\) for n større enn denne N. Og hvis \(x=0\) så vil hele følgen \(f_n(x)=0\). Totalt kan vi altså si at \(f_n(x)\rightarrow 0\). Det er dette som ligger i det å konvergere punktvis mot nullfunksjonen \(f(x)=0\) på hele intervallet [0,1].
For hver n så vil \(\int_0^1 f_n(x) dx=1\) siden arealet under grafen er lik arealet av trekanten som er skravert.


Altså: \[\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x)dx=1 \neq 0=\int_0^1 \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x) dx \]




Laget av Øistein Gjøvik med GeoGebra
(Les mer om heksehatten på Google Books)

Ref:
Michael Reed: Fundamental ideas of analysis

Matematikk i Google Docs

Google melder på bloggen sin at de nå har støtte for likninger i Google docs. Det var jammen på tide, ettersom Zoho har hatt denne muligheten i evigheter!
Nå ble plutselig alt meget bedre... Men hvorfor har de enda ikke fikset denne muligheten i presentations?
Syntaksen ser ut til å følge en slags OpenOffice / GeoGebra / Latex light lingo... Uten at jeg skal banne på at det er riktig.

Enkle Excel-diagrammer?

Må bare legge ut lenke til denne artikkelen om å lage Excel-diagrammer, "the easy way". Litt usikker på om det kan kalles easy way, og iallfall om det er "the better way", men denne karen som kaller seg "The How-to Geek har ofte svært nyttige poster på bloggen sin. Vel verdt et bokmerke for de som jobber i skolen, eller er interesserte i det digitale sånn generelt.

Create Charts in Excel 2007 the Easy Way with Chart Advisor :: the How-To Geek

DropBox – fanger _nesten_tyver!

I fjor skrev jeg mer eller mindre ekstatisk hvor fornøyd jeg var over programmet DropBox, etter å ha gått runden med mange forskjellige synkere.
Jeg prøvde foldershare (nå windows live sync) og syncplicity. Begge gode program, der foldershare synker uten backup på nett og syncplicity med noen gigabyte backup på nettet. Bruker fortsatt Foldershare til store datamengder, det har en tendens til å gå bra oftere enn det Vista klarer på egenhånd.
Syncplicity avsluttet betaperioden med å kun legge til rette for synking mellom to datamaskiner, så da var det DropBox som viste seg å være min favoritt. Gratiskontoen har to gigabyte backupplass, takler mange maskiner, og har en del småting som også er veldig bra, med at en public folder gjør det lett å dele filer med andre. Programmet utvikles også hele tida. Man kan også tjene noen flere gigabytes med plass dersom man rekrutterer andre til tjenesten. Installer DropBox via denne lenka, så får både du og jeg en ekstra kvart gigabyte!  Du får også tak i filene dine på nett, selv om du er på et datarom eller liknende der det ikke er DropBox installert.
Det som slår meg er at programmet egner seg så bra i parhest med programmer som benytter seg av watched folders / mappeovervåkning.
- utorrent, som starter nedlasting av alle .torrent-filer den finner i ei bestemt mappe. Sitt hjemme hos mor og far, synk en .torrent-fil, og PC’n starter nedlasting automatisk.
- Mediamonkey, mitt soleklare førstevalg som musikkprogram – er et program som også kan skanne foldere for ny musikk å legge til biblioteket. iTunes kan vel også gjøre dette nå. Dette gjør det greit å ha samme musikk tilgjengelig på flere maskiner. Dette var selvsagt før Spotify fikk meg til å miste hele interessen for .mp3-formatet…
- Evernote (nå også med en flott iPhone-app) har også muligheten til å overvåke mapper etter filer den kan legge til i notat-databasen sin. Sitter du på jobb og finner en interessant tekst eller fil, så legg den i en DropBox-folder, og den vil være synkronisert i notat-basen din når du stiter ved skrivebordet hjemme.
- Programmer som har større databaser å jobbe med er også greit å synke for å sikre seg at man jobber med samme fil. Et eksempel jeg har hatt glede av er å synkronisere databasen i Family Tree Maker. Når det blir noen hundre slektninger å holde styr er det viktig at man ikke jobber på mange slektstre samtidig!
- Lifehacker har tidligere kjørt en artikkel om hvor greit DropBox kan brukes til å synkronisere passord og innlogginger mellom flere datamaskiner.
- Mange programmer inkluderer etter hvet sin egen synk-mulighet. Et eksempel på det er referanseprogrammet Zotero, som jeg tidligere synket med DropBox, men som nå altså håndterer databasen sin selv. Endnote er et annet eksempel på et frittstående referanseprogram, der det er fint å ha en oppdatert databasefil.
- Men når jeg fikk snusen i IFTTT (ifttt.com) så begynte DropBox virkelig å skinne. I IFTTT (if this then that) så kan du lage regler som samhandler med Dropbox til å gjøre en hel masse greier. Jeg bruker ifttt til å ha ei mappe i dropbox som jeg kan legge pdf'er i, og vips så befinner de seg på min kindle. Eller jeg har ei mappe i DropBox der alle bilder jeg legger ut på instagram eller facebook havner, så har jeg alt på et sted. Alle bilder som noen tagger av meg havner også der. Mulighetene med IFTTT er mange, bør nesten bli en egen post...

Må til slutt nevne at DropBox NESTEN hjalp Heimdalspolitiet til å fakke forbryterligaen som rundstjal flere boliger i boligfeltet her og tilstøtende nabolag. En PC ble stjålet og den hadde DropBox installert. Det som da skjer – om kjeltringene er tilstrekkelig amatørmessige – er at DropBox-sida sier fra om hvor PC’n befinner seg når den slås på. Jeg kunne dermed greit lese hvilken IP-adresse banditten hadde. Han/hun (stryk det som ikke passer- det vil si “hun”) befant seg i en småby nord i Polen og man kunne greit finne ut området vedkommende befant seg i. Dette var dessverre ikke nok til å finne ut hvem vedkommende var, ettersom det polske politiet og teleselskapet trengte mer nøyaktig info enn en IP-adresse for å lokalisere vedkommende. En ønsket feature ved DropBox hadde vært at man kan markere en PC som stjålet, slik at den tar bilde med webkameraet når den slås på, sender det til politi og PC-eier via en ferdig oppsatt e-post adresse, og eventuelt ødelegger alle filene på maskina. Vet ikke om jeg hadde turt det, men det hadde vært helt greit om man kunne slå på en valgmulighet slik at maskina ødelegges permanent for de underyterne som bryter seg inn hos folk mens man sover… Gjerne med en lett sprengladning eller noe :) (Ja, man blir ganske hissig av å ha innbrudd…)

Online presentasjoner – en liten dealbreaker

Nå har jeg strevet en god stund for å finne ut hvordan man på en enkel måte kan bruke google sitt presentasjonsverktøy på online presentasjoner.

Ideen er enkel, og gjennomføringen nesten god nok. Først trenger du en konto på Google Docs, der du kan lage presentasjoner, regneark med spørreskjema og vanlige tekstbehandlingsdokumenter. Utviklingen går sent, men godt hos Google. Det fins tilsvarende verktøy hos for eksempel Zoho, der de kanskje har kommet litt lenger i utviklingen.

På Google Docs lager du en litt forenklet utgave av et PowerPoint-dokument (som jeg snart skal gå helt over til å kalle KraftPunkt (og ikke KraftPunk, som min gode kollega Arne Johannes valgte å kalle det)). Du kan også laste opp en PowerPoint-fil, men ikke regn med at alt blir helt slik du hadde trodd. Eksemplet over er fra ei tidlig forelesning om funksjoner på et kurs i lærerutdanningen. Bildene er hentet fra FlickrCC, eksemplene er en blanding av selvlagde GeoGebra-filer og noe er hentet fra GeoGebra-wikien. Alle disse er forhåpentligvis Creative Commons-lisensiert…

Positivt med Google Presentasjoner:

- Lett å dele, slipper å sende filer, bare linker

- Lett å organisere med tagg og søk

- Lett å sette inn f.eks. youtube-filmer

 

Ting som ikke er så bra:

- Vanskelig å lenke bilder til noe

- Animasjoner er ikke mulig, iallfall ikke som jeg får til. Og det er jo noe av det som er kjekt i KraftPunkt, nemlig å bruke animasjoner til f.eks. å understreke matematiske sammenhenger. Et eksempel er Arealformler KraftPunkt-fila, som jeg bruker for å illustrere geometriske formler. Kanskje ikke så induktivt og utforskende, men det var kult for noen år sida! :)

Men så til det som så ut til å være kjempehendig, men som ikke ble det likevel. Når du presenterer en Google Presentasjon, så kan du velge å dele lenka til presentasjonen med både lokalt og eksternt publikum. Men det som virkelig hadde vært kjekt er om alle så det samme som deg og kunne være interaktivt med på forelesningen.

Faktisk er det meningen at det skal virke slik nederst kan publikum klikke på “View Together” og det vil dukke opp et chatvindu for publikum. Foreleseren eller seminarlederen kan flippe gjennom lysbilder og skjermene til publikum oppdateres da så de stemmer overens med foreleserens.

Så langt, svært bra. Lyd har man imidlertid ikke støtte for, så det må brukes skype eller fysisk tilstedeværelse i tillegg. Det som gjorde at man ble stående som spørsmålstegn en del ganger når studentene satt med dette var at man som publikum MÅ ha en google konto registrert. Det holder IKKE å bare ha gmail… En subtil liten forskjell der, som iallfall gikk meg hus forbi.

Mange har gmail, fler bør det bli. Mange har google-konto også. Det bør iallfall bli flere. Men før presentasjonene til Google åpnes for flere, så er man altså nødt til å ha en kollektiv tvangsinnlegging av Google-kontoer for tilhørerne…. Når det er i boks, vil alle få muligheten til å “Vise sammen” (“View Together”).

Berømtheter som lærere!

På mental_floss Blog -> 15 Famous People Who Used to Teach kan du lese om mennesker som _ikke_ akkurat er mest kjent for å ha vært lærere. På denne listen er jeg mest imponert over Sylvester Stallone. Gene Simmons er vel truende til å ha gjort hva som helst, så der er jeg ikke så overrasket. Han driver jo i tillegg en slags reality-rock-school, og med hans ego mener han vel også selv at han underviser hele verden i kunsten å underholde og tjene penger.

Blanke ark

MAXDOME, TVNORGE WEB-TV - Blanke Ark Ep. 1

Man gjør kanskje ikke jobben sin som lærer hvis man ikke følger med på dette, så slike som meg - som gikk glipp av første episode - kan heldigvis se episodene her.