Alle trekanter er likebeinte!

Denne oppgaven husker jeg at jeg fikk på et fagdidaktisk kurs i matematikk for en del år tilbake. Den ligger ute på hundrevis av nettsider, men er såpass finurlig at den fortjener noen ord likevel. Jeg presenterer bare teoremet med (delvis) bevis i dag, og løsningen på paradokset kommer ved en senere anledning :)

Jeg bruker beviset fra http://www.jimloy.com/geometry/every.htm, men oversetter det for den som ikke ønsker å fordype seg i utenlandsk matematikk... :)

Beviset stammer visstnok fra W.W. Rouse Ball (1892).

Påstand: Alle trekanter er likebeinte.

Bevis:
Tegn en (nesten) tilfeldig trekant ABC, der du passer på at AC>BC. Jeg ønsker å vise at likevel er AC=BC. Konstruer først vinkelhalveringslinjen til vinkel C og tegn midtnormalen på AB. Midtnormalen halverer AB i punktet D. Vinkelhalveringslinjen til C og midtnormalen på AB kan ikke være den samme linjen (da er trekanten opplagt likebeint) så da krysser de hverandre i et punkt E. Dette punktet E må enten ligge inne i ABC, på kanten AB eller på utsiden av ABC. Vi feller ned normaler fra E til henholdsvis AC og BC. Nå kan vi tegne en hjelpefigur for hvert av disse tre tilfellene.

Tilfelle 1: CEF og CEG er rettvinklede trekanter med en side felles, så de må være kongruente. Derfor er EF=EG og CF=CG. Rettvinklete trekanter har vi også for ADE og BDE, og de er også kongruente. Da må AE=BE. Til slutt har vi også rettvinklete trekanter AEF og BEG, og de må også være kongruente. Da må AF=BG. Videre er AC=BC ved å legge sammen (AF+FC = AC og BG+GC = BC). Det vil si; AC=BC, og dermed må trekanten ABC være likebeint.

Tilfelle 2 og tilfelle 3 kan vi vise på nesten helt tilsvarende måte. I tilfelle 2 (E ligger utenfor ABC)  må vi trekke fra i stedet for å legge sammen til slutt, og i tilfelle 3 (E ligger på AB) er det tilsvarende argument med noen trekanter mindre å betrakte. Du kan prøve selv, eller ta meg på ordet ;)  (Men det er altså ikke der feilen ligger, den har allerede skjedd i tilfelle 1).

Uansett, ABC er likebeint i følge beviset.