Matematikklærer'n

Målingsdivisjon

2012-01-23T19:32:00.001+01:00

Regnefortelling som sier noe om hvordan man løser 3:4?

"Kjell Gunnar skal dele tre epler på seg og sine tre venner. Han putter eplene i Foodprocessoren og lager eplegrøt. Hvor stor del av grøten får hver?"

AbaCabaDabaCaba

2012-01-10T12:34:00.001+01:00

Litt reklame denne gangen. Lulu.com er et nettsted hvor en kan publisere egne tekster og bøker, slik at de kan bestilles i bokformat. Riktignok med en saftig porto fra USA... Mine publikasjoner der er ikke rare greiene, det begrenser seg til pocketbøker med veldig umoden humor, men jeg skal i stedet nevne ei matematikkbok som jeg og femåringen i huset nettopp har hatt mye moro med. Dette er "Maggie and the Abacaba Genies". Boka handler om Maggie som møter flere ånder, med stadig vanskeligere navn. Og moroa er at det lange ordet/navnet har et system som du må hjelpe Maggie med å gjennomskue. Ordet er for øvrig publisert i et massivt bokverk på tusenvis av sider, og forfatteren anbefaler at du ikke kjøper den :) Likevel kan du finne mønstret som hele ordet besitter og vi hadde det ganske artig med å prøve å si ordet etter hvert som vi leste historien.
Forfatteren er Michael Naylor, som har jobbet sammen med meg på HiST, og han er nå er ansatt på Matematikksenteret.

Khan/Tradisjonell

2012-01-02T23:08:00.000+01:00

Hvordan i all verden klarer man å sammenlikne tradisjonell undervisning med "blandet Khan-undervisning"? Her er en artikkel om akkurat det, men jeg tror man må inn i bakgrunnsmaterialet her, om dette skal ha noen mening...

http://fm.schmoller.net/2011/12/lessons-learned-from-using-khan-academy-content-in-a-blended-learning-pilot.html

Flere spill (Android/iOS)

2012-01-01T23:06:00.000+01:00

Alle har prøvd Angry Birds. Alle. Du har kanskje ikke funnet PC-versjonen (for den finner du gratis med Google Chrome!) og kjørt Angry Birds på en interaktivt SMARTboard-tavle, men du har nok prøvd det på telefonen eller iPaden. Noe av det man kjenner igjen ved Angry Birds er at man får en, to eller tre stjerner som karakter på hvordan man klarte oppdraget sitt. Slik at man kan komme tilbake og spille smartere for å få tre stjerner.
En del andre spill i "logikksjangeren" har også denne stjerneordningen. Jeg har skrevet om Slice it! før, så ta en kikk der. Dette spillet er ganske så populært hos husets firåring, og det er vanskelig nok for husets trettiseksåring også. Mari klarte å dele en figure NØYAKTIG i to på et av brettene der. Ikke verst!

Et annet spill som gir deg karakterer slik at spillet har mange ganger lenger levetid er Cut the rope. Det finner du også i AppStore. I Cut the rope har du en sjarmerende kompis, et monster som venter på godteriet sitt. Det henger i en tråd et eller annet sted på skjermen og du må kutte tråden slik monsteret får godteriet. Noen ganger må du beregne svingen på tauet, noen ganger havner godteriet i en såpeboble som flyter oppover og du må smelle den til rett tid. Det kan også hende du må bruke hårføneren til å blåse bobla dit du vil ha den...

Et siste spill i samme sjanger er Where is my water? Her kommer det rennende vann og du må guide vannet til dusjen til krokodillen ved å grave i jorda og sende vannet mellom de riktige rørene. I tillegg bør du fange opp så mange som mulig av badeendene på veien. Søt grafikk og omtrent samme vanskegrad som de andre.

Alle disse spillene har et visst logisk tilsnitt, mens Slice it! nok må sies å være litt mer matematisk i og med at du må samenlikne arealer og være litt lur når du med så og så mange kutt skal dele arealet i så og så mange like store biter. Alle er iallfall underholdende og verdt de få (om noen) kronene de koster å få inn på telefonen din.

Juletid og IKT-tid...

2011-12-31T19:50:00.001+01:00

Bilde fra Thinkgeek.com

Å feire jul betyr for mange å være sammen med familie, gjerne storfamilien man kanskje ikke er sammen med resten av året. For min del har jul vanligvis vært å være hos foreldre, med søsken og deres barn. En tradisjon like sikker som Tre nøtter til Askepott er at det kommer spørsmål om å "fikse data'n". Nå er ikke det å fikse data'n det artigste som fins, men samtidig er jo dette noe vi akademikere omsider kan brukes til... T-skjorta fra thinkgeek.com, avbildet til høyre, er morsom, men til jula kan man skifte til noe mer ydmykt ;)

Ofte er det heller ikke så lett å fikse det som måtte være galt, er det en kræsja harddisk eller et lydkort som er gåent så kan man streve lenge for å finne feilen/driverne/slitasjen/hvadetnåmåttevære. Så for min del har det å fikse data'n stort sett bestått i å installere java, kjøre diskopprydding, oppdatere antivirus og liknende.

Interessen for slikt vedlikehold må vel sies å være på et minimum av mange datamaskineiere, så pedagogen i meg har måtte bite i det sure eplet og innsett at man ikke kan tvinge folk til å interessere seg for windows update. Derfor har jeg funnet fram til et par løsninger jeg selv synes er gode, gratis og lette for å kunne yte hjelp på pc'n både når jeg er hjemme og når jula er over.

Jeg pleier som regel å installere CCleaner (tidligere crapcleaner), slik at det skal være lett å kjøre en middels grundig rens av pc'n. Denne tømmer søppelkurven, fjerner tmp-filer, loggfiler og midlertidig data man ikke har bruk for. Har brukt denne i fire-fem år selv, og har aldri savnet noe som blir fjernet. Den kan også rense i registret og rense en god del programmer som nettlesere og annet.
I tillegg har jeg en del ganger lagt inn renseprogrammene Ad-Aware og Search & Destroy. De sletter spionprogrammer, trojanere og slikt som antivirusprogrammene som regel ikke får med seg. Revo Uninstaller er et annet kjekt program som fjerner mye mer av programmene du avinstallerer, enn det windows sin avinstalleringsprosedyre gjør.

Antivirus er forsåvidt en greie i seg selv. Favoritten var lenge Nod32, men jeg har også vært innom AVG og Avast. Nå har jeg imidlertid gjort det enkelt ved å bruke Microsoft Essentials til dette.

Når man så har kommet hjem fra ferien og må til pers, har jeg spesielt to programmer jeg bruker til dette.
Først og fremst går jeg til ninite.com og lager en skreddersydd installeringsfil til brukeren. Det er kjempelett å krysse av for de programmene vedkommende har, og man kan velge air, java, shockwave, browsere og andre programmer og runtimes. Du får så en liten fil du kan laste ned. Når du kjører denne fila henter den siste versjon av alle programmene du har valgt. Den legger inn alt uten spyware toolbars osv, og du trenger ikke å klikke Neste eller Ja en eneste gang. Perfekt for første gangs installasjon av programmer, men også til oppdatering, siden den kun henter nyere versjoner av programmene. Slik skal det gjøres! Legg fila på skrivebordet til brukeren og instruer vedkommende til å kjøre den en gang i måneden :)

Noen ganger kan det også være greit å fjernstyre maskinen til den du skal hjelpe. Her fins det mange muligheter som LogMeIn og TeamViewer - mange også med iPad-integrasjon. Den jeg har falt for er Crossloop Connect. Veldig enkelt å bruke: Legg inn programet på begges datamaskin, og når det kjøres får du en kode dere kan gi over mail eller telefon, og som kobler maskinene sammen. Du får da opp skjermbildet til din stakkars slektning på din egen skjerm og kan undersøke det du vil uten å vedkommende i andre enden må lese opp tredve feilmeldinger. Bittelitt lagging er det over Internett, men det er ingen problemer å legge inn java til bestemor på denne måten.

Så nå tusler jeg inn i 2012 og håper at jeg får datamaskinene til familien i bedre stand med mindre innsats :)

Godt nytt år!

Matematikkrigene

2011-12-14T11:48:00.000+01:00

Some things never change...

Det er alltid motstand mellom en som vil noe nytt og en som ikke vil det. Dette gjelder vel forsåvidt uavhengig av kontekst. Innføringen av it's learning på vår arbeidsplass friskt i minne kan illustrere dette for meg...
I matematikkfaget har det også eksistert slike små slag mellom de som ønsker nytt velkommen, og de som ønsker det hive det på elva. Dette er ikke noe nytt. Da algoritmene ble innført (kreditt til al-Khwarizmi for den) i middelalderen var det politisk spenning mellom de som ønsket å omfavne de nye regnemåtene og de som ønsket å holde seg til abacusen. Jeg regner med den samme spenningen eksisterte mellom de som ønsket å holde fast på romertallene eller ønsket å bruke de arabiske tallene som Fibonacci innførte i Europa.
I senere tid har vi hatt de samme slagene hver gang ny teknologi blir løftet fram for å bli inkludert i den norske skolen. Kalkulatoren på syttitallet; Grafisk lommeregner på nittitallet, datamaskiner på 00-tallet (hvordan skrives "00-tallet" med ord?) og muligens SMARTboard nå for tida. Tilsvarende "krigføring" finner vi mellom de som er tilhenger kontra mostander av Khan Academy. Se f.eks. her.
Situasjonen med algoritmene har vi forsåvidt fortsatt, det er nesten som et ekko fra middelalderen. Men i stedet for at striden står mellom abacus eller effektiv regning for hånd er det nå de samme algoritmene som har didaktisk slagside mot elevenes egne strategier og tallforståelse. Constance Kamii har gjort en del forskning på dette siden åttitallet, og hennes konklusjon er iallfall klar: Algoritmene hindrer mer utvikling enn de skaper. Les mer om dette i artikkelen The harmful effects of "carrying" and "borrowing" (2009).

NTNU gjennomførte for mange år siden et nedslående studium der de undersøkte hvor mange av studentene som faktisk behersker algoritmene ved starten av studiet - ganske kort tid etter avsluttet videregående opplæring (håper noen kunne skaffe en referanse på dette materialet!) . Lærerstudenter som tar sitt første matematikkfag her på høgskolen kommenterer også ofte (svært ofte!) at de bare delvis husker algoritmen, mens de igjennom jobbingen med matematikkfaget får oppleve hvorfor det hadde liten hensikt å drille disse algoritmene når de "sitter" såpass dårlig som de gjør. (Hvordan var det nå med divisjonsalgoritmen igjen... hvorfor begynner vi fra venstre der mens vi begynner fra høyre på de andre? Og hvorfor må vi både dele, gange og trekke fra inni den ene algoritmen? Og hvorfor trekker vi ned en null?)

Algoritmene nevnes ikke i Kunnskapsløftet, det er altså ikke noe vi skal eksamineres i, eller MÅ jobbe med. En annen sak er at det å jobbe med elevenes egne algoritmer og strategier for så å skulle kunne begrunne hvorfor standardalgoritmene er som de er, vil være veldig fruktbart for utviklinga av forståelsen.
Jeg tror noe av grunnen til at disse algoritmene er såpass debatterte er for det første at foreldrene til dagens elever lærte dette som stort sett sin eneste måtte å regne ut ting på, og det kan da ikke være så annerledes for barna deres at de skal regne på en helt annen måte? Mange lærere hevder også at algoritmene må stå sentralt siden de (noen ganger, men ikke alltid) er en effektiv måte å finne svar på regnestykker på, de gangene en ikke har kalkulator tilgjengelig.

Les for øvrig mer om divisjonsalgoritmen i Nils Johan Kjøsnes' flotte artikkel Divisjonsalgoritmen - gudeskapt eller skapt av mennesker?

Skitchdork

2011-12-14T10:06:00.000+01:00

Kanskje ikke så mye med matematikk å gjøre, men hvis du har uvanlig dårlig humor tror jeg nok dette er noe for deg :) 43 sider med noe av det mest meningsløse du kan tenke deg!

Slik lever dei der...

2011-12-13T10:05:00.002+01:00

Ikke et vondt ord om svenskene, bortsett fra at godt kunne ofret EM-plassen sin til oss. Men uansett, de har funnet ut at matematikkopplæringen ikke fungerer. Rettere sagt, Claes Johnson mener at man bør starte med IKT-støttet matematikkundervisning allerede i førsteklassen. Les mer her:

http://www.nyteknik.se/asikter/debatt/article3363704.ece

Vatten under broarna

2011-12-10T22:15:00.001+01:00

Det vil si at det har gått såpass mange år at jeg tør legge ut denne, som jeg har spart på:

----
Følgende melding befant seg på it's:learning i klasse XX:
"Kom og hent artikkelpensum, det er relevant for eksamen".

Se så for dere en ikke navngitt høgskolelektor og en student i dialog:

S: Jeg lurte på hva som er pensum jeg
H: Du finner det nok på pensumlista til biblioteket og der det står "pensum" i matematikkmappa på it's:learning.
S: It's:Learning? Står det noe der?
H: Ja, stort sett alle beskjedene dere får...
S: Men hvilke bøker må vi kjøpe av de på pensumlista da? Hva er pensum?
H: De som står på pensum er pensum... Jeg beklager hvis det er forvirrende dette.
S: Men artiklene da, er de pensum?
H: Ja, de står på pensumlista...
S: Jeg tok disse som lå uti gangen her jeg. Det er disse, sant?
H: Ja, stemmer det, hvor fant du de?
S: De lå i hylla ut i gangen.
H: Men stod det ikke noe navn på dem?
S: Nei, jeg tror ikke det. Eller jo, det stod Maria, men jeg tok av lappen jeg.
H: Men det slo deg ikke at det kanskje var Maria sin?
S: Nei, hvem er det?
H: Hun går i klassen din...
S: Jaja, jeg skal skrive en ny lapp. Men fins det gamle eksamensoppgaver? Hvor mange % trengs det for å stå?
H: Ja, du finner de der det står "gamle eksamensoppgaver" i matematikkmappa på it's:learning. Jeg trodde det var tydelig nok..?
S: It's:learning, er ikke det bare et sånnt chattested da?
H: Nei, alle beskjedene dere skal rette dere etter står der.
S: Men vi blir jo logga ut derfra, vi kan jo ikke logge oss på i ett sett?
H: Hvis du blir logga ut, så kan det jo hende du ikke gjør så mye der akkurat da.
S: Hmf, tåpelig system, spør du meg...
H: Ja, vi får spørre deg neste år, så blir det vel ordning :-)

(Siste setning sa jeg ikke, altså, jeg bare tenkte det stille. I samme øyeblikk kommer enda en student inn og har funnet enda en bunke artikler som det stod et annet navn på. Jeg ba henne sette på lappen igjen, men fikk til svar at hun ikke kunne gjøre det, for hun hadde kasta lappen...)

Kastet bort lesinga II

2011-12-08T10:40:00.001+01:00

Skrev tidligere om de som kastet bort lesinga. Vel, de 1700 som fikk eksamen i går er vel heller ikke så fornøyde akkurat, men det var iallfall noen overveide utsagn fra de spurte elevene:

http://www.vg.no/nyheter/innenriks/elevavisen/artikkel.php?artid=10032380

Google loves math :)

2011-12-07T09:44:00.001+01:00

Vet ikke hvor nyttig dette er, men Google kom i dag med en hyggelig overraskelse til matematikkfolket. Nå kan du skrive inn funksjonsuttrykk i søkefeltet til Google, og grafen blir da tegnet opp for deg: http://insidesearch.blogspot.com/2011/12/showing-some-love-to-math-lovers.htmlTil tross for større nedslagsfelt enn eminente Wolfram Alpha, så tror jeg nok sistnevnte vil være et nyttigere verktøy i hverdagen. Men så er det jo slik at man kontinuerlig har søkefeltet til Google tilgjengelig, og da er det også hakket enklere å skrive inn et funksjonsuttrykk der oppe i firefox, enn det er å åpne ny fane, nytt nettsted, og gjøre det man skal der. Kanskje Google har en plan om at man skal kunne skrive inn hva som helst i søkefeltet og så skjer det! Gleder meg til "Make my dinner" blir implementert!

Julekalender

2011-12-02T12:06:00.001+01:00

Litt reklame for min glimrende tidligere elev Ola sin adventskalender. Du finner den på julekalenderen.org

(Merk at det IKKE stod "tidligere glimrende"...)

Kastet bort lesinga!

2011-12-02T11:44:00.001+01:00

(Bilde fra http://www.wishes7.com)

Her på huset (lærerutdanningen på HiST) sitter mange av oss opptatte med eksamensforberedelser. Det gjelder både ansatte og (forhåpentligvis) studentene. Det er rart hvor mye arbeid som går med til å lage en eksamen. Først skal man lage oppgaver, og det må kontrolleres at disse faktisk kan løses med de midlene man rår over ved å ha lest det oppsatte pensum. Videre bør det være slik at oppgavene ikke bør overlappe slik at man viser samme oppnådde kompetanse ved å løse flere av de. Ikke at dette er noe krav, men det blir meningsløst hvis man skulle svare med samme kunnskap på flere oppgaver. Oppgavene bør (etter min mening) ikke være så ulike andre oppgaver at de byr på store overraskelser, og de bør heller ikke være så like tidligere gitte oppgaver at man kan overføre en løsning til en ny oppgave uten noe arbeid involvert.
Så kommer det formelle, med at det skal lages sensorveiledninger, det skal utarbeides oppgaver på nynorsk og bokmål, og for å ikke stille seg selv for laglig til for hogg bør språket være både godt og ikke tvetydig i oppgavene.

VG hadde i går et artig oppslag (vel, ikke ha-ha-artig for de involverte, men likevel) om eksamensoppgavene fra BI som ble utdelt med løsningen allerede markert. Nå kan en for det første mene hva en vil om multiple choice-eksamen. Jeg har sett mange eksempler på slike oppgaver som er like gode som "tradisjonelle" oppgaver - men det krever mye arbeid å utarbeide de. Og det at man får løsningene servert sammen med oppgavene - vel, man kan smile litt av det, men i jungelen av dokumenter man sender fra seg som vedlegg til et intetanende eksamenskontor er det fort gjort å blingse på eksamenH012v1.docx og eksamenH012v1l.docx. Et øyeblikks uoppmerksomhet og vips er feil fil på vei. De ansatte med ansvar for å avvikle eksamen og trykke oppgaver kan ikke nødvendigvis lese tankene til de som har utformet eksamen, og vi forventer vel ikke at de skal oppdage feilen der. Menneskelig svikt, som de sier i VBG-artikkelen.

En av studentene klarer imidlertid å gi meg litt frysninger, da vedkommende sier at lesingen var bortkastet. Dette da eksamen ikke blir avholdt på nytt før det har gått noen måneder. Mener denne studenten altså at alt det som blir gjort innenfor høyere utdanning kun har en varighet på noen måneder? Vi husker vel alle at det var en del prøver vi pugget til, fikk godt resultat, for så å ikke klare å reformulere noe som helst av det uka etter på. En slik aktivitet fra den verdenen vi kalte skole, og som fant sted mellom ni og tre i ukedagene, var selvfølgelig meningsløs. Hvis det man foretar seg ikke skal ha som mål å utvikle oss så er det muligens på tide å tenke litt annerledes. Jeg håper studenten med uttalelsen i VG-artikkelen ikke snakker på vegne av mange på BI.

Kunnskap er lett å bære, sa mamma og pappa bestandig. (De snikene, det var først etter at jeg fikk slått fingrene i Google, at jeg innså at dette var en oversettelse av det latinske Ars est portanti leuis vber ea sed egenti, et ordspråk fra den danske, litt mystiske ordspråksamleren Peder Laale.)

Man burde nok omforme til Kunnskap er lett å bære, men vanskelig å putte i sekksn!

Uansett, eksamener som blir forskriftsmessig avholdt må etter hvert sensureres. Igjen er det nok vanskelig å se for seg hvor mye arbeid som ligger bak. Oppgaver skal samles inn og distribueres. Til faglærere og eksterne sensorer over det ganske land. Og DA først begynner arbeidet som for oss ansatte har en frist på tre uker i hvert fag. Nattarbeid og lange dager før det omsider blir samtaler med sensorer om mange (om ikke alle) oppgaver for at man skal være så rettferdig som mulig. Nei, det hadde nok vært enklere å rette litt annerledes. Eventuelt ta sjansen på å lage multiple choice-eksamen :)

Siffer og julekalendernøtt

2011-12-01T13:45:00.001+01:00

Det er en oppgave som irriterer meg veldig. På den måten at den er enkel, og lett å løse, MEN hver gang jeg hører den så tenker jeg automatisk feil før jeg husker at det var DEN oppgaven igjen, og dermed skjønner jeg har dummet meg ut. Oppgaven var presentert i et av de første programmene i siffer-serien. Som vanlig i serien presenterer en først en del av de som tenker slik man logisk nok tenker ved første ørekast, og til slutt en av de som klarte å få med seg hodet til å skjønne hva som var svaret. Oppgaven dukket forleden opp igjen i en julekalender hengende på døra til toalettet her på lærerutdanninga (!). Og igjen tenkte jeg feil noen sekunder før jeg kjente igjen oppgaven...

En pose seigmenn veier 110 gram. Seigmennene veier hundre gram mer enn posen. Hvor mye veier posen når seigmennene er spist opp?

(Fritt oversatt fra svensk, og med litt annen kontekst enn i siffer).

104 %

2011-11-15T15:20:00.001+01:00

Etter tips fra Sten Even må jeg bare lenke til denne flotte artikkelen i Aftenposten: http://www.aftenposten.no/okonomi/utland/Selger-plse-med-104-prosent-kjtt-6694262.html

Argumentet til vedkommende i artikkelen er at det er104 % kjøtt i pølsene fordi de bruker f.eks. 104 gram kjøtt for å framstille 100 % pølse, men at noe forsvinner i prosessen... Da skjønner jeg ikke hvorfor de ikke heller reklamerer med at det er f.eks. 290 % gris i pølsa... eller 400 % kalkun eller liknende..

NB: Dette har ingenting med epsilonpølse å gjøre.

Drøft!

2011-11-15T13:52:00.001+01:00

Et helt OK spørsmål å stille klassen når det lir mot helg. Gjerne på fredag i tre-tida:

Er matematikken oppfunnet eller oppdaget? Begrunn svaret ditt.

Ben Goldacre

2011-11-07T09:53:00.000+01:00

Litt reklame for et foredrag jeg ikke vet noenting om, men har veldig lyst til å få med meg!Det er gratis adgang og bare til å møte opp og håpe på plass i Olavshallen i følge nettsidene, for Dr. Ben Goldacre skal holde foredrag om Hacks, quacks and uncomfortable facts.

Reuleaux-trekant

2011-10-28T20:18:00.000+02:00

Ikke det letteste å uttale, men fine å se på! Reuleaux-trekanter er en trekantet form med litt spesielle egenskaper. Vi har vel alle lagt merke til at mennesket har for vane å lane firkantete ting, mens naturen har for vane å lage rundere ting. Vel, noen steder har vi rett og slett vært nødt til å lage runde ting vi også, om det så er rør, kabler, ledninger eller andre ting der vi helst ikke vil det skal sitte igjen noe i kantene. En annen ting som er rundt er kumlokkene. Det er ikke tilfeldig at du aldri har sett et firkantet kumlokk, for hva ville skje dersom du mistet kumlokket ned langs diagonalen av hullet sitt? Trolig påtalemyndigheter og førtidspensjon. Men heldigvis, med runde former slipper vi problematikken ettersom en runding ikke kan presses ned i et rundt hull som er litt mindre enn seg selv.
Det dukket etter hvert opp en annen form som kunne brukes til kumlokkformålet (og annet), nemlig en reuleaux-trekanten. Denne er trekantet i formen, men måler man den med et skyvelære ser man at den har konstant bredde.

Her kan du se hvordan du kan konstruere en slik (trykk på Spill av-knappen nedenfor, eller spol igjennom trinnene med knappene under konstruksjonen):

Dette er en Java-applet som er laget ved å bruke GeoGebra fra www.geogebra.org. Det ser ut som du ikke har installert Java. Vennligst gå til www.java.com

Det er ikke så vanskelig å lage denne, men må uansett takke Jørn for inspirasjon ved at han plutselig tok bilde av maten sin på en tallerken som tilfeldigvis hadde denne fasongen...Les mer om Reuleaux-trekanter på http://en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle. Du finner også en del om dette i boka Den matematiske krydderhylle, av Nils Kr. Rossing.

Manifest 1

2011-10-28T09:36:00.001+02:00

Manifest.
Bruk flere farger.

(men fire er alltid nok)

Mattelæreren (blog)

2011-10-23T21:22:00.001+02:00

Tilfeldighetene skal ha det til at jeg har møtt Simen Spurkland for årtier siden (tror jeg!), så da var det ekstra artig å se at han var ute i samme ærende som meg, med en blog med nesten samme navn!
Følg med på Simens blog på Mattelæreren (mattelaereren.blogspot.com)

100 ideas for teaching mathematics (bok)

2011-10-21T13:09:00.000+02:00

En av mine favoritter blant forfatterene av matematikkbøker er Mike Ollerton. Jeg kan vel i samme åndedrag "namedroppe" John Mason (som ofte er her hos oss på HiST), John Allen Paulos (som i tillegg til å skrive om matematikk også tar for seg favorittemaer som humor og religion), Tom Körner, Richard R. Skemp og Martin Gardner.
Vi har brukt Mike Ollerton som pensum her på høgskolen, blant annet i boken Inclusive mathematics - om tilpasset opplæring. For den som ønsker å lese om hva tilpasset opplæring i matematikk er, kan den trygt anbefales (Mulig du tar feil om du tror det dreier seg om å forenkle oppgaver og å gi ekstra undervisning).
Den siste boken jeg leste av Ollerton er altså 100 ideas for teaching mathematics. Det fins et par forskjellige utgaver av den. En med et plusstegn på, som jeg ikke helt har funnet ut hva betyr, men det kan bety at det er andre utgave, 20 % større, i følge Amazon. Det fins også en versjon for teaching primary mathematics, skrevet av Alan Thwaites.

Denne boka leses naturlig nok ikke som en vanlig bok, ettersom den rett og slett kommer med ideer til 100 undervisningsopplegg i matematikk. Jeg leste gjennom alle aktivitetene og de færreste tar man "i hodet", selv om man selvsagt i årenes løp har sett en del av de før. De er sortert på tema ("number puzzles", "for budding data handlers" osv) og nummerert. Stort sett hver ide er en aktivitet som kan utvides i forskjellig grad. De fleste svært mye. Vi treffer mange ideer som bruker tradisjonelt materiell som f.eks. hundrerkartet og spikerbrettet. De aller fleste av ideene er aktiviteter der en får spørsmålet/problemet "Hvor mange måter kan vi..." eller "hva er det største og minste vi får til når..." eller "hvor mange kombinasjoner fins det når...". Det vil si at det ligger en sterk oppfordring til utforskende aktiviteter og et eksperimentelt rasjonale bak oppgavene.

Du må nok ha svært dårlig fantasi om du ikke skal finne noen aktiviteter her som passer til elevene dine! For min egen del fikk jeg spesielt sansen for ideen om en aktivitet mens man venter på at de som ikke rakk bussen skal komme... Et eksempel på en slik aktivitet følger:
Jeg deler ut fem terninger til hver gruppe av en par-tre studenter.
De kaster alle fem og skal nå lage regnestykker av terningresultatene.
Poenget er å kombinere de fem tallene med pluss, minus, gange, dele og parentes, slik at svaret blir hundre. Dette er opplagt ikke mulig for alle kast (f.eks. fem enere kan man ikke få til hundre av på noen som helst måte med disse regneartene), så det er ofte en frenetisk tenkning, prøving og feiling når man har en litt vanskelig kombinasjon av tall foran seg.

Anbefaler sterkt denne boka! Kjøp den fra Play.com for under hundrelappen.

The magic of reality (bok)

2011-10-19T11:54:00.002+02:00

Bilde fra GeekoSystem

Over hodet ikke en matematikkbok, men iallfall vitenskaplig og da følger det jo med litt matematikkmateriale på lasset. Dette er den nyeste boka til Richard Dawkins. Han er nok mest kjent for boka The God delusion (på norsk: Gud - en vrangforestilling), som både argumenterer mot alle former for gudetro, men også annen overtro og bestialiteter gjort i religionens navn. Denne nyeste boka, the magic of reality, er en grundig bok mer myntet på barn og ungdom. Her forklares det tydelig underveis og Dawkins unnlater denne gangen å være spesielt kritisk mot tro og doktriner. Til gjengjeld er det mytene som får gjennomgå, der han oppsummerer myter om verdens skapelse, jordskjelv, regnbuen og annet. For eksempel sammenlikner han myten om Noah og floden med andre myter fra andre tider og religioner og viser til at de er så godt som identiske. Det gis relativt enkle vitenskapelige forklaringer på alle fenomenene som onhandles. Nå er det jo slike at det meste som har vært tro og overtro opp gjennom historien etter hvert har blitt veiet av vitenskapen og funnet for lett, altså at myter og tro har gått over til å bli forklarbare fakta og kunnskap. (Jorda var flat, til man fant ut at den ikke var det. Lyn og torden skyldtes Tor med hammeren, helt til man klarte å forklare det)

Tittelen på boka henspiller selvsagt på at vi ikke skal være nødt til å gå til overnaturlige og paranormale forklaringer når det eksisterer etterprøvbare vitenskapelige forklaringer. Magi bør være magi der tryllekunstneren bevisst går inn for å lure folk, og ikke ellers. Naturen er magisk nok i seg selv, i betydningen fantastisk nok i seg selv og vakker nok i seg selv. Vi trenger ikke finne opp overnaturlige forklaringer for å forstå den ettersom et Gudsbegrep eller et religionsbegrep er like uforklarlig (ikke minst MER uforklarlig) enn det det skal forklare).

Boka er også tilgjengelig som en spesiell iPad-app, som visstnok skal inneholde stor grad av multimediaopplevelser og interaktivitet i tillegg til selve teksten.

Ikke skjønner jeg hvorfor Dawkins gidder, men han har igjen sagt ja til å være gjest på talkshowet til min favoritt-tufs, Bill O'Reilly. O'Reilly pleier å behandle gjestene som om de var undermennesker, og mener selv han har svarene på alt. Høydepunktet kom i fjor da han i millioner av seere/fans sitt åsyn proklamerte for lederen av American Atheists at mangelen på forklaring for flo og fjære var bevis for Guds eksistens. ("Tide goes in, tide goes out... and you can't explain that!" (Dette var i tillegg like før flodbølgen slo innover USA...)

Her er Dawkins sin opptreden på det aldeles grufulle og flaue O'Reilly factor:

http://www.youtube.com/watch?v=NgNFJEx3XGc

Andoku

2011-10-13T13:23:00.002+02:00

Varianter av velkjente sudoku har ikke slått like bra an som originalen. Det nærmeste vi kom var nok Kakuro, som du kan google et annet sted. Et program har likevel blitt værende på Androiden min ganske lenge, nemlig Andoku. Det er en samling av forskjellige sudoku-spinoffs, der favoritten min er Squiggly Sudoku:

Squiggly Sudoku følger nesten nøyaktig samme mal som vanlig sudoku, men i stedet for at det skal være ni kvadratiske samlinger av tallene fra 1 til 9, er det nå ni andre former. Se for eksempel figuren under for et eksempel på en utgangssituasjon.

Spillet har en ganske hendig måte å skrive inn/løse problemene på. Du velger et av tallene 1 til 9 fra menyen nederst. Umiddelbart farges alle tallene med den verdien i sudokuen slik at det er lett å sjekke horisontale og vertikale linjer. Kanskje litt fusk, men så er jo heller ikke poenget med sudoku å være i stand til å se vannrett og loddrett, men å tenke etter hva som mangler eller kan passe inn av tall.
Anbefaler spillet på det varmeste, gratis fra Android-markedet.

17 måter å knytte skoene på

2011-10-08T13:06:00.001+02:00

Kom over følgende infographic, som viser hvordan man kan knytte skoene på 17 måter!

http://fashionablygeek.com/shoes/17-ways-to-tie-your-shoelaces-infographic/

Dagens sitat

2011-09-28T11:42:00.004+02:00

It is not knowledge but the act of learning, not possession but the act of getting there, which grants the greatest enjoyment

(Karl Gauss)

Mine 4 første matematikkspill

2011-09-14T09:46:00.000+02:00

Spill er gøy! Vel, kanskje ikke alltid. Traumatiske minner om forsmedelige og/eller ydmykende tap i fotball eller Millionær kan fort ødelegge gleden, men for det meste er det artig. I matematikkundervisningen er spill en så hyppig benyttet metodikk at matematikkspill må sies å kunne være en egen sjanger.

De fleste spill inneholder forskjellig matematikk, det være seg handling med penger (Monopol), summering (yatzy), telling (nesten alle spill med terning!), sannsynlighetsregning (poker), gjennkjennelse og sortering av objekter (memo), logikk og resonnering (mastermind) og mange, mange flere. I tillegg kommer de spillene som handler om matematikk, slik som Matte-mix som rett og slett går ut på å få til regnestykker i de fire regneartene fortest mulig. Andre spill har blitt "mattespill" uten at det kanskje var tanken, slik som Tangram-spillet som man finner maler til på Internett, kan kjøpe i plastikk- eller treversjoner eller man finner de i SMARTboard-biblioteket og andre digitale utgaver. Her ser det for øvrig ut til at det bare er å hive seg frampå for å lage en norsk Wikipedia-artikkel ;) For interesserte kan Tangrambrikkene også brukes til å "bevise" Pytagorassetningen.

Jeg har også selv laget en egen versjon av TABOO (eller Alias, som likner veldig), nemlig MABU! Du kan laste ned PowerPoint-fil med regler og kort her. Hvis du laminerer arkene før du klipper ut så varer de en god stund også. Hensikten med spillet er å framprovosere språk til begreper, ved å legge begrensninger på en del av ordene man vanligvis bruker til å forklare eller belyse disse begrepene. Tanken er å demonstrere for lærerstudenter hvor vanskelig dette kan være.

Jeg har ikke "utøvd matematikkspillpress" i nevneverdig grad på egne barn (mener jeg iallfall selv!), men her om dagen passet det seg slik at jeg skulle kjøpe en bursdagsgave på vegne av andre i familien. Jeg endte da opp med "Mine 4 første matematikkspill", som består av fire spill for barn i alderen 3-7 år - men noen må vel være med å spille med barna også da... Disse spillene er designet av elever i første til fjerde klasse, noe som burde borge for kvalitet. Spillene er laget slik barna vil ha de, uten tanke på læring eller øving. Men læring finner vi i stort monn i disse spillene likevel.

I "Mine 4 første mattespill" finner du følgende fire spill:
- Idas mattespill
- Mattespillet
- Brettformspillet
- Matheaspillet

...også kommer jeg tilbake med tanker om hvert enkelt når Mari og jeg får spilt de litt mer :) Ved første gjennomspilling var alle spillene fint forståelige for firåringen og det eneste jeg har å utsette på spillene var at hun vant alle fire...

Papirhelikopter

2011-09-08T20:29:00.003+02:00

En gang var jeg bråkjekk og mente at det som ikke kunne bevises eller forklares ved å brette papir ikke var verdt å bevises, men det stoppet brått da jeg støtte på cosinussetningen. Eller likninger... eller... ja, du skjønner. Men det forhindrer ikke at veldig mye KAN vises, eksemplifiseres og illustreres med papir og brettinger.
Når jeg introduserer temaet funksjoner har jeg ofte brukt et enkelt lite eksperiment om papirhelikopter. Poenget er å undersøke hva avhengige og uavhengige variable er.
- Hvordan vil brettingen av vingene påvirke snurringen?
- Hvordan vil vekta, i form av påhengte binders eller annet, påvirke hastigheten?

Simple spørsmål, men den andre er egentlig ikke helt enkel å svare på. Elevene får finne en måte å notere resultater, utføre eksperimentet, lage en hypotese osv. Lærere på kurs har ofte fått sansen for dette (utrolig enkle) eksperimentet også.

Jeg prøvde dette lille forsøket da jeg i min tid hadde en prøveforelesning for å jobb ved høgskolen, og daværende dekan hengte seg opp i at jeg nevnte spørsmålet "Hvordan ville dette forsøket gått på månen?" Det ble rett og slett en diskusjon mellom tilhørerne som dro ut så lenge at jeg ikke fikk gjort halvparten av det jeg hadde planlagt på prøveforelesninga...

Du finner en enkel oppskrift på hvordan man kan lage slike helikoptere her (og mange andre steder ved et kjapt google-søk): http://www.exploratorium.edu/science_explorer/roto-copter.html

Blog

2011-08-25T23:02:00.000+02:00

Larry Cuban er en amerikansk (tror jeg) forfatter som blant annet har skrevet ei god bok som heter "Oversold and underused: Computers in the classroom". På http://larrycuban.wordpress.com/ blogger han - egentlig ganske mye - om skole, ikt og utdanning.

Nivådeling

2011-08-24T20:14:00.000+02:00

Dette blir vil en populær sak fram mot valget... Halvorsen påstår forskning viser at nivådeling ikke virker. En del lærere og rektorer mener det virker. Opplæringsloven sier at man har krav på tilpasset opplæring. Vet alle hva man virkelig snakker om her - og er det egentlig klare grenser? Deling etter evner eller resultater... hvordan skal man kunne foreta en inndeling i det hele tatt om man ikke bruker en elevs resultater på en eller annen måte til å foreta diagnostisering av evner?

http://www.vg.no/nyheter/innenriks/elevavisen/artikkel.php?artid=10097830

Favorittbøker

2011-08-21T21:06:00.000+02:00

Denne posten samler sammen favorittene blant bøkene jeg leser/skriver om.

Lockheart, P., Mathematician's Lament

Superfreakonomics

Logicomix

The magic of reality

Utforskning med rektangel del 2.

2011-08-20T21:14:00.000+02:00

Her kan du undersøke hvor mange ruter diagonalen går gjennom på de forskjellige størrelsene av rektangeler. Oppgaven er fortsatt: Kan du finne sammenhengen mellom størrelsene på sidene i rektangelet og antallet ruter som diagonalen skjærer gjennom?

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Øistein Gjøvik, Laget med GeoGebra

Fermat

2011-08-17T21:33:00.000+02:00

Google har ofte artige endringer i logoen sin, og i morges kunne vi se at de valgte å hedre Pierre de Fermat. At de velger å gjøre det på hans 410-årsdag... vel - det er tanken som teller :)

Fermat er nok mest kjent gjennom Fermats siste sats, der han påstår at han har et flott bevis for at $x^n+y^n=z^n$ ikke har noen heltallige løsninger for $x, y$ og $z$, så lenge $n$ er større enn 2. Hvis $n=2$, så ser vi at vi får Pytagorassetningen, og da vet vi at f.eks. 3,4 og 5 er hele tall som passer inn for $x, y$ og $z$.

Uansett, den godeste Fermat avgikk ved døden for beviset ble kjent eller skrevet ned og dette startet en 350 år lang jakt på beviset for setningen hans. Denne jakten er grundig beskrevet i den populærvitenskapelige boka "Fermats siste sats" av Simon Singh. Har anbefalt denne boka til mange, også ikke-matematikere, og den har blitt veldig godt mottatt av samtlige.

Learn

2011-08-11T19:57:00.001+02:00

Læring, dere.

LEARN from Rick Mereki on Vimeo.

Kulerammefail

2011-08-10T11:34:00.000+02:00

Bakgrunnsbildet på bloggen er ikke så aller verst, men det gjemmer riktignok det faktum at Mari knuste hele kuleramma og at jeg måtte lime den sammen uten å finne den siste kula...

Om grafisk lommeregner

2011-08-09T12:31:00.003+02:00

Muligens er begrepet "lommeregner" litt tøysete, siden de færreste har dem i lommen, og de færreste får plass i lommen, men det er iallfall et godt norsk ord!

Jeg har tidligere vært ivrig bruker av Texas Instruments sine lommeregnere, spesielt likte jeg godt TI-83 (nå TI-84) og brukte de en del som lærer. Jeg hadde til og med roboten som du ser på bildet til høyre, som kunne programmeres ved hjelp av TI-83/4.
Jeg syntes også jeg kunne se at elever som hadde CASIO hadde en litt vanskeligere vei mot forståelsen enn de som brukte TI. Sharp har jeg intet inntrykk av, og HP var vel mest noe man brukte på universitetet som nerdestudent :) Omvendt polsk notasjon var riktignok litt artig.

En periode var TI-83 tilgjengelig som Android app, men denne var sannsynligvis ikke lovlig, og ble fjernet fra markedet så, vidt jeg kan se.

Etter å ha brukt TI noen år, kom etter hvert dataprogrammene sterkere og sterkere. Det har vel eksistert pedagogisk programvare i 30-40 år, men mitt første møte var Graf-X-Pert, som min tidligere lærer Jostein Våge hadde laget, og Excel. I tur og orden ballet det på seg med Cabri, Calc, TIs CAS-kalkulatorer, TI-nspire, GeoNeXt og til slutt GeoGebra. Etter at GeoGebra kom i versjon med regneark har jeg egentlig aldri hatt bruk for noe annet. I løpet av året eller neste år kommer også GeoGebra med en CAS-modul, så det er det liksom ikke behov for noe annet. En 3D-versjon, en mobil-versjon, en SMARTboard-versjon, en barneversjon... alt er på gang...

Jeg savner kalkulatoren litt, selv om jeg ikke bruker den så ofte lenger. Det jeg husker godt med min egen undervisning var at det ofte var lange sekvenser der elevene måtte gjenta trykk som jeg gjorde. Kalkulatoren var lite brukt som et verktøy, men mye brukt som en slags mekanisk algoritme for å finne svarene på f.eks. to likninger med to ukjente, andregradslikninger eller graftegning. Jeg er altså ganske misfornøyd med hvordan jeg selv lot det stå til - selv om elevene var veldig fornøyde med å ha en maskin som ga dem svarene bare de slo inn ting i rett rekkefølge.

Jeg fikk aldri helt draget på CAS, hverken på datamaskin eller kalkulator. CAS er nå nevnt i læreplanen og må forventes inn på eksamen om kort tid. Nå er det wxMaxima som er det mest brukte CAS-programmet etter mitt skjønn, men kalkulatorene og GeoGebra følger hakk i hæl.

Det mest kritiske punkt rundt kalkulatorer og datamaskin er nok hva skoler har og hva de legger opp til eksamen. Elever som tar fag som privatist kan risikere å komme på eksamen og ikke få bruke datamaskinene sine, til tross for at det står i læreplanen at det er en sentral del av faget. Det går sannsynligvis noen år til, men jeg tror ikke det blir mange, før kalkulatoren blir sett på som unødvendig å bruke tusen kroner på i Norge. En meningsfelle finner du f.eks. her: http://gotaas.blogspot.com/2011/05/verkty-i-matematikkundervisningen.html

Men leser du artikkelen på lenka under så ser du at det er harde krefter for det motsatte, spesielt i andre land.

http://wildaboutmath.com/2011/08/08/why-the-graphing-calculator-still-matters-in-an-ipad-world

Utforskning med rektangel

2011-08-09T10:26:00.002+02:00

Du kan dra i de røde punktene for å endre rektangelet. Diagonalen vil skjære et antall ruter. Klarer du å forutsi hvor mange ruter som blir truffet av diagonalen når du forandrer rektangelet?

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Øistein Gjøvik, 9. august 2011, Laget med GeoGebra

Gammelt nytt

2011-07-13T12:39:00.000+02:00

(Fra The Daily Telegraph, 3. jan. 2001)

Usikker på hvordan denne avisreportasjen skal lenkes til uten å krenke rettighetsinnehavere, men tar sjansen denne gangen. Denne artikkelen stod altså i The Daily Telegraph i 2001. Ti år senere, har noe endret seg? I såfall, hva da?

Klassiske bevis

2011-07-12T09:15:00.000+02:00

Jeg prøver å samle endel klassiske bevis på denne posten. Kriteriet for å kalles "klassiker" i denne sammenheng er i høyeste grad subjektivt, men det vil iallfall være beviser som er gode enten fordi de gir en dyp innsikt på en "a-ha"-måte, eller at de på annen måte kan sies å være elegante eller finurlige.

Thales setning
http://mattegreier.blogspot.com/2011/06/klassiker-thales-setning.html

Pi er tre
http://mattegreier.blogspot.com/2008/12/finn-feilen-i-beviset.html

Arealet av sirkel
http://mattegreier.blogspot.com/2011/03/klassisk-bevis-sirkelareal.html

LaTeX-formler

2011-07-11T12:13:00.000+02:00

Har lenge brukt denne oppskriften for å legge inn formler på bloggen: http://watchmath.com/vlog/?p=438

Av en eller annen grunn får jeg ikke dette til å virke lenger, men fant en helt lik kompilator som tolker vanlig LaTeX-kode for deg. Du finner instrukser her: http://mathcache.appspot.com/static/docs.html

Bok: Det tapte symbol (spoilers?)

2011-07-11T09:34:00.002+02:00

Etter å ha lest Dan Browns DaVinci-koden (DVK), var forventningene ganske store til oppfølgeren, Det tapte symbol. I DVK følger vi Robert Langdon (på film i ikke helt ukjente Tom Hanks' skikkelse) og hans jakt på den hellige gral, løsninger av koder og mysterier og hesblesende jakter gjennom museer, kunstutstillinger og tempelriddermyter. Som matematiker kan man jo verdsette enhver bok som befatter seg med Det gylne snitt, Fibonaccitall og pentagrammer. Filmen er ikke så verst den heller. Pussig nok har ei tidligere utgitt norsk bok, Sirkelens Ende av Tom Egeland, omhandlet omtrent det samme, også der med en albino i hovedrollen! DVK fulgtes av en mengde filmer og bøker som skulle finne sannheten om DaVinci, tempelridderne, det siste måltid, den hellige gral, Maria Magdalena og alt det der.
Min mening om DVK er at innholdet selvsagt er svært interessant, både som ateist og matematiker, men at den ikke akkurat er skrevet så veldig spennende. Stilen til Dan Brown er å kaste inn hundrevis av kapitler og avslutte alle av dem med en irriterende cliffhanger-klisje.
(Les mer om matematikken i DVK her: http://www.nd.edu/~hahn/pdf%20files/Ch3-MathDaVinci.pdf )
Etter å ha lest DVK leste jeg også de andre bøkene fra Dan Brown, det vil si Digital Fortress (forferdelige greier), Angels & Demons (ganske spennende, har også blitt film) og Iskaldt bedrag (også ganske kjedsom, tror den heter Deception Point på engelsk).
Nok om det, nå har jeg altså omsider fått lest Det tapte symbol, Browns foreløpig siste bok. Også her følger vi Robert Langdon og hans kamp mot ukjente symboler og koder. Jeg skal ikke gå inn på handlingen i boka, den følger stort sett samme mal som de andre bøkene hans. Men også her er det innslag av matematikk. På et tidspunkt involveres Albrecht Dürers Melancholia I, et bilde det er verdt å merke seg av flere grunner.

(Bilde fra Wikipedia)

Her er det flere matematikkobjekter å merke seg. Kula, polyederet og måleinstrumenter. Men det viktigste for handlingen i Det tapte symbol er det magiske kvadratet oppe til høyre. Som du ser er summen av hver rad eller kolonne 34. I tillegg er summen på en diagonal 34. Det gjelder også summen av hjørnetallene. En ekstra bonus Albrecht Dürer har fått til er at summen i hvert 2x2-kvadrat også er 34, også for 2x2-kvadratet i midten.

Les mer om Dürers kunst og matematikk her og her.

Bok: A mathematician's lament

2011-07-05T15:28:00.002+02:00

Omsider fikk jeg lest A Mathematician's Lament av Paul Lockheart. For en god stund siden leste jeg PDF-fila som er en slags miniatyrutgave av denne boka. Den har sirkulert på Internett ganske lenge, og har vært mye lest og diskutert i matematikkmiljøer. Hvis du ikke har lest den enda anbefaler jeg sterkt at du setter av noen minutter til det. Du kommer til å være takknemlig etterpå (for det bør du være). Denne posten dreier seg imidlertid om boka som kom i kjølvannet av populariteten til pdf-fila, som egentlig trolig bare var ment som et dokument skrevet i frustrasjon. Boka er heller ikke lang, forsåvidt - den teller bare 140 sider.

Bilde fra Amazon.com

Boka er for det meste en personlig beretning om hvordan man oppfatter at matematikkundervisning er, og hvordan forfatteren mener læring av matematikk bør skje. Jeg sier vel ikke for mye dersom jeg sier at Lockheart er svært kritisk til hvordan ting skjer nå om dagen. Boka er skrevet i 2009, så den er i høyeste grad aktuell.

Forfatteren starter med å introdusere oss for hvordan han oppfatter matematikk i skolen ved å beskrive et marerittliknende opplegg i musikkfaget. Elevene tvinges til å lære noter, notesystemer, oppbyggingen av instrumenter, pugge satser og lyttepartitur osv. Uten å i det hele tatt få komponere musikk, skape samspill eller beherske et instrument. Videre tar han for seg et svært enkelt eksempel fra matematikken, med en trekant tegnet inn i et rektangel. En suverent enkel figur, med et enkelt spørsmål "Mon tro hvor stor del av rektangelet trekanten opptar?". Så enkelt at hvem som helst kan begynne å undersøke det, og veldig mange vil finne gode svar - samt nye spørsmål. Da er vi i gang! :) En slik figur kan passe godt i for eksempel ungdomsskolen også, dersom man ønsker å sette fokus på hvordan man kan forstå formelen for arealet av en trekant.

Her kan du også gå inn på http://mattegreier.blogspot.com/2009/10/areal-og-omkrets.html og se hvordan man kan bruke GeoGebra til å vise at hvor toppunktet på en trekant plasseres hen i et slikt tilfelle, ikke har betydning for arealet.) Håpet er at en slik figur kan få eleven til å ytre ordene "Men hva hvis..."

Figur fra republicofmath.com

Jeg synes det er en veldig frisk måte å skrive på, når forfatteren velger å bruke Simplicio og Salviati-teknikken. Ukjente navn for meg, selv om det å bruke dialog vel må sies å være godt kjent.

På wikipedia finner vi følgende forklaring angående boka til Galileo Galilei, Dialogue Concerning the Two Chief World Systems :

Salviati argues for the Copernican position and presents some of Galileo’s views directly, calling him the “Academician” in honor of Galileo’s membership in the Accademia dei Lincei. He is named after Galileo’s friend Filippo Salviati (1582–1614).
Sagredo is an intelligent layman who is initially neutral. He is named after Galileo’s friend Giovanni Francesco Sagredo (1571–1620).
Simplicio, a dedicated follower of Ptolemy and Aristotle, presents the traditional views and the arguments against the Copernican position. He is supposedly named after Simplicius of Cilicia, a sixth-century commentator on Aristotle, but it was suspected the name was a double entendre, as the Italian for “simple” (as in “simple minded”) is “semplice”.^[7] Simplicio is modeled on two contemporary conservative philosophers, Ludovico delle Colombe (1565-1616?), Galileo’s fiercest detractor, and Cesare Cremonini (1550–1631), a Paduan colleague who had refused to look through the telescope.^[8] Colombe was the leader of a group of Florentine opponents of Galileo’s, which some of the latter’s friends referred to as “the pigeon league”.^[9]

(Sagredo dukker ikke opp i denne boka, da.) Poenget er, Simplicio stiller "de dumme spørsmålene" og har et konservativt syn (i Galileis tilfelle, at jorda er flat og verdensbildet er geosentrisk), mens Salviati kommer med de reflekterte og opplysende svarene (det heliosentriske verdensbilde). Likheten til debatten om konservativ kontra progressiv utdanning er slående.

Et veldig godt eksempel på hvordan Lockheart argumenterer er løsning av andregradslikninger. Jeg husker vi brukte lang tid på dette på videregående skole, og kanskje var det noen som også forstod hvorfor og hvordan det måtte bli som det måtte bli. Men for de flestes tilfelle handlet dette om å finne en a, b og c og sette inn i abc-formelen (den var så mye brukt at den til og med fikk et eget navn!). Mange ganger. Noen ganger hendte det at læreboka prøvde å lure oss til å tro at dette var nyttig i det virkelige liv, ved å lage en kvasi-reell kontekst som "Hvor lander kanonkula når den skytes ut etter en funksjon som er...". Som om vi noengang vet den funksjonen!? Eller har behov for å skyte med kanon, for den saks skyld. Lockheart hevder at samfunnet sannsynligvis ikke har spesielt god nytte av at befolkningen går rundt med noen vage minner om en abc-formel, en formel vi ikke husker riktig, kanskje aldri forstod, og neppe kan bruke til noe. Så hvorfor bruke så mange timer på å trene oss på å bruke den? Jeg spør som regel førsteklassingene på lærerutdanningene om denne formelen og det er svært få som husker den, selv om det bare har gått måneder siden de gikk videregående skole.

Et viktig spørsmål dukker alltid opp i slike diskusjoner.

Simplicio: But we don't have time for every student to invent mathematics for themselves! (...)

Ja, det er iallfall sikkert! Men ingen påstår nå heller at elevene skal finne opp matematikken på nytt. Det tok tross alt flere tusen år å komme dit ungdomsskoleelevene befinner seg i dag, matematisk sett. Det fins mange forskere som mener at all matematikk KAN læres, og læres svært godt, ved å introdusere elevene for situasjoner og fenomener de selv kan studere og trekke hypoteser og slutninger ut av. Og de har sikkert rett. Men det de mener er jo at vi ikke kan gjøre dette innenfor tidsrammene og den mengden ting vi skal gjennom slik det er i dag. Men det er klart, hvis man halverer den tiden man bruker på øve på oppgaver man ikke har bruk for... kanskje ikke all matematikk er helt nødvendig å bruke tid på i skolen heller. Jeg tror ikke mange av elevene som ikke skal studere matematikk har bruk for andregradslikningen og formler for å løse den. Jeg kan ikke en gang finne på et eneste eksempel fra mitt daglige liv der jeg har bruk for noe så enkelt som arealet av en trekant eller pytagorassetningen. Og DEN var iallfall livsviktig å kunne, fikk vi høre av lærerene våre. Da jeg selv var lærer første gang befant jeg meg plutselig foran en klasse som skulle lære om trekantarealet. Det alltid like aktuelle spørsmålet "hva skal dette brukes til" dukket selvsagt opp. (Pussig nok, hvorfor er det bare matematikk som må forsvare seg med å være brukbart til noe? Kan vi ikke få være like unyttige som diktanalyse og kunnskap om fotosyntese!? Da kan det jo til og med bli oppfattet som gøy!) Jeg følte jo jeg måtte svare eleven, og kom med et eksempel om at man kunne jo få god bruk for dette om man på et tidspunkt skulle så plenfrø på en trekantet plen og måtte vite hvor stort arealet er! (Du trenger ikke lete lenge i skolebøker for å finne tilsvarende idiotiske oppgaver). For:

1. Hvem i all verden har trekantete hager?

2. Hvem regner ut arealet av plena si med formler når man uansett må gå ut og ta mål - og da kan man jo like gjerne måle plena.

3. Hvor mye motivasjon er det for eleven hvis dette er det beste eksemplet jeg kommer på? At man KANSKJE skal ha en HAGE en gang!?!? Ikke halvparten av de jeg kjenner har plen i det hele tatt!

Bilde fra
http://ejad.best.vwh.net/java/pythagoras/history.html

Og hva med pytagorassetningen, den er da vel viktig, den brukte vi tross alt på løkka for å lage hjørnet der cornerflagget skulle stå. Vel, nei, det kan jeg ikke huske noen gjorde. Ikke blir det nøyaktig likevel, og er det ikke noe stort poeng å få nittigraderen helt nøyaktig kan man like gjerne bruke øyamål. Men i prinsippet kan man lage tolv knuter på et tau og legge tauet i en trekant slik at det blir henholdsvis tre, fire og fem knuter i hver side. Da får vi en nittigradersvinkel. .... tja... dersom man har nøyaktig avstand mellom knutene... altså i PRINSIPPET går det fint, og prinsippet må man gjerne bruke mye tid på. La ungene finne ut av dette, gi de gjerne tau både med og uten knuter. Men ikke si at vi lærer dette fordi det er så veldig nyttig!

Hvem i all verden var det jeg lurte med disse oppkonstruerte liksom-realitetene? Mest meg selv. Og alle elevene.

Uansett - LES denne boka, den er så veldig verdt det, og bør få et publikum langt utenfor skolestua. Du vil ha nytte av det (der sa jeg det igjen). De eventuelle elevene dine vil ha nytte av det. Kanskje forandrer du ikke verden i dag, kanskje ikke i morra, kanskje endrer du bare deg selv bittelitt. Og så kanskje litt til. Til slutt er det kanskje en elev som sitter igjen med et litt annet inntrykk av matematikken enn det han ellers ville ha gjort. Og klarer vi det er det heller ikke så aller verst.

Andre har også skrevet om denne boka:

Squarecircles: http://www.squarecirclez.com/blog/a-mathematicians-lament-how-math-is-being-taught-all-wrong/2828

maa.org: http://www.maa.org/devlin/devlin_03_08.html

(written by Keith Devlin, who also wrote the foreword to the book).

Så sent som i dag var det et debattinnlegg om Dagens dannelse i dagbladet, der artikkelforfatteren kanskje kunne hatt nytte av å lese boka til Lockheart:

http://www.dagbladet.no/2011/07/05/kultur/skole/utdanning/skolepolitikk/17192843/

Undervisningspraksis

2011-07-04T11:19:00.002+02:00

Hvorfor tror vi i lærerutdanningen at vi kan endre andres praksis, når vi ikke klarer å endre vår egen?

Kikora

2011-06-27T12:37:00.000+02:00

Dagens "hotte" matteting må vel være Kikora, som får en solid porsjon reklame i Aftenposten. Har ikke prøvd dette enda, men regner med at tilbakemeldingene ikke lar vente på seg. Det ser ut til at konseptet iallfall inkluderer en slags skriv-matte-på-data der utregninger sjekkes etterhvert. Og det kan jo godt hende mange elever setter pris på å bli holdt i hånda gjennom hver linje av utregningene de bedriver. Nå er jeg nok en av de som ikke tror at det å sjekke hver linje for konsistens er det som er galt med matematikkundervisning, men jeg skal som sagt ikke uttale meg for bastant før vi se hvordan Kikora bærer av sted.
Ser for meg at stemmene på en side vil være overøsende positive til at læreren nå bare trenger å være en slags motivator, vaktmester eller en som holder orden, mens andre kommer til å synes at dette fokuset på korrekt symbolbehandling ikke er det som trengs akkurat nå. Jeg har vel antydet at jeg hører til den siste gruppen, men håper på å bli positivt overrasket når jeg får innpass hos en skole som bruker Kikora :)

Noen lenker for i dag

2011-06-24T19:38:00.001+02:00

Trodde du det er 1000 muligheter for å lage en PIN-kode på telefonen? Jepp, da hadde du rett. Tror du kjeltringen trenger tusen forsøk for å gjette koden? Nope, sannsynligvis vil han klare det på 24 forsøk på de nye touchtelefonene. Sikkerheten blir imidlertid hakket bedre, 36 muligheter, hvis du gjentar et siffer i PIN-koden. Hvorfor i all verden er det slik?
http://lifehacker.com/5813533/why-you-should-repeat-one-digit-in-your-phones-4+digit-lockscreen-pin

Terrence Tao har en blog som inneholder matematikk i forskjellige sammenhenger. Mye av dette går over hodet på meg som en F-16 ville gjort, men det er også en del interessant lesning, om f.eks. karrierevalg.
http://terrytao.wordpress.com/

Skoleforskere bekymret for de sterkeste barna:
http://www.aftenposten.no/nyheter/iriks/article4155412.ece

Nye metoder for juks

2011-06-23T11:40:00.004+02:00

Å fuske til eksamener og prøver er i vinden som aldri før. Det har selvsagt alltid forekommet fusk, men nå har man trolig større mulighet til å rendyrke denne kunstformen. Større metodefrihet, for å bruke et uttrykk fra skoleverket. Aftenposten hadde nettopp en artikkel der flere metoder er nevnt. Å skrive i brunosten er velkjent, men innslaget om den ekstremt fargeblinde læreren som ikke så alt med rød skrift på grønn tavle var ukjent for meg. Man lærer noe nytt hver dag.

Kilde: Ukjent (er det da fusk å bruke det)

Det er alltid en slags evolusjonskamp, dette (om ikke Revolusjonskamp). Naturen prøver å lage en bedre mus, mens mennesker prøver å lage en bedre musefelle. Verden utvikler ny og bedre teknologi, skolene tar disse litt slurvete i bruk, og elevene vet å utnytte det til fulle. På de siste iOS-oppdateringene og de fleste Android-versjonene kan du bruke en telefon som en hotspot, slik at du kan koble din datamaskin til Internett, kun ved at du har en lydløs telefon liggende i jakkelomma i garderoben utenfor. Sleipt og urettferdig, men det er i grenseland til å være litt oppfinnsomt.

http://infothread.org/info/Facts%20and%20
How%20to/How%20To/Coke%20Label%20Cheatsheet.jpg

Skolen har lenge reprodusert skillene i samfunnet, så også de digitale skillene. En enhetsskole søker å utjevne ulikhetene, men det kan vel ikke den norske skolen sies å ha lykkes med. Arenaen for fusk trodde jeg var lik for alle, men nå kan det se ut til at de sterkeste ressursmessig også får fortrinn her.

I aftenposten-artikkelen ser vi eksempler på noen slike metoder, dersom du trenger påfyll. Du kan også se her for en ganske utspekulert og voldsomt arbeidsom teknikk (klikk på bildet for større versjon):

Les artiklene her:
http://www.aftenposten.no/nyheter/iriks/article4153771.ece (se også http://mattegreier.blogspot.com/2011/04/slik-jukser-elevene-via-nrk.html)

Fordypningsartikler: http://www.cheatinexams.com/ og http://www.wikihow.com/Cheat-On-a-Test

Klassiker: Thales setning

2011-06-21T22:07:00.003+02:00

Thales setning er ganske godt kjent, og må regnes som en klassiker innenfor den klassiske geometrien. Setningen sier ganske greit at et punkt C på en halvsirkel fra A til B vil lage en rettvinklet trekant ABC uansett hvor C ligger på halvsirkelen.
I bunn og grunn er dette rare greier - at ikke dette punktet C's plassering skal ha noe å si for hva slags trekant det blir! Flytt litt rundt på C på figuren under, så ser du at trekanten hele tiden blir rettvinklet. Men hvorfor er det slik?
Ser du f.eks. på Wikipedia, så vil du se at det vanlige beviset er forholdsvis "skriftlig" og kanskje ikke umiddelbart enkelt for alle elever. I den glimrende boka Mathematician's Lament av Paul Lockheart forteller forfatteren imidlertid om en elev i ungdomsskolen som lager et helt fint argument med ord og bilder. Og da slik at ideen blir det viktige.
Trykk på "trinn 1" nedenfor, så ser du at eleven har rotert trekanten 180 grader. Det dannes da et rektangel. Det er altså IKKE et "skjevt" parallellogram, ettersom (trykk på "trinn 2") begge diagonalene er diametre i sirkelen. Ettersom det er et rektangel er vinkelene rette, og Thales setning følger.

Hva er lærerens oppgave når eleven jobber med formelle/uformelle bevis som dette? Jo, for eksempel å påpeke at det ikke er innlysende at diagonalene i parallellogrammet er diametre i sirkelen. Eleven responderte da (trykk på "trinn 3") at - jo, siden trekanten er rotert en halv omdreining så ender tuppen akkurat på andre siden, og dermed i nøyaktig motsatt posisjon av hvor den startet.

Denne lille sekvensen fra boka illustrerer så veldig godt hvordan vi i mange skolebøker og undervisningssekvenser dreper alle motivasjon, lærelyst og kreativitet. Hvorfor heller ikke fremelske slike løsninger som denne eleven kommer med? Det spiller ingen rolle at det ikke er stringent korrekt, formelt riktig eller bruker de riktige ord og notasjoner - eleven har sett et mønster, en egenskap - ja, en IDE, og det er akkurat det matematikk handler om.

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Et par interessante artikler

2011-06-18T23:06:00.000+02:00

Først angående studentene som starter i sine lærerjobber. Her har "praksissjokket" lenge vært et kjent begrep, og det er visstnok mange studenter som får en kort lærerkarriere - både fordi det er enklere å få jobber i andre stillinger, men også fordi de har en utdanning som ikke harmonerer så godt med det som møter dem i skolen. Hvem har fasiten? Skal de akademiske utdanningene vende kappen etter vinden som blåser i skolen? Eller skal skolene endre sin praksis etter hvert som det uteksamineres lærere i nye akademiske tradisjoner?

http://www.vg.no/nyheter/innenriks/elevavisen/artikkel.php?artid=10087584

Dagbladet har videre en fin artikkel fra Jesper Juul. Han er nok et velkjent navn for de fleste, og det skal jo litt til for å skaffe seg et navn som akademiker som bidrar i populærformidling. I artikkelen refererer han til det vi nå vet, altså det forskning har avdekket om farene ved bruk av dataspill. Som det sies i artikkelen, det er vanskelig å vite om det som skjer skjer på grunn av dataspillene eller om det er trender blant ungdommene som trekkes mot dataspill, slik at spillene ikke er en årsak, men en måte faresignalene kommer til syne på.

http://www.dagbladet.no/2011/06/17/magasinet/jesper_juul/barn/dataspill_and_barn/16960471/

Desemberbarn

2011-06-14T21:04:00.002+02:00

Mens vi (i et tidligere innlegg) var inne på dette med matematikk/sosiologi/sosioøkonomi/mye annet: Her er et tips fra twitter (nærmere bestemt @bjornhg), der du kan lese om de dårligere kårene desemberbarn har for å hevde seg på skolen. Ganske rart at lovbestemt tilpasset opplæring ikke en gang kan avvegre dette!

:

http://www.vancouversun.com/December+babies+never+really+catch+study/4934503/story.html

Fredagspussel

2011-06-10T10:43:00.003+02:00

Da jeg var hjemme på konfirmasjon i helga oppdaget jeg et gammelt puslespill liggende i ei krukke (av alle ting). Det er kanskje tjue år siden jeg så denne sist, og jeg husker at det var mange som synes den var litt vanskelig. Tok derfor og tegnet den i GeoGebra etter beste evne, slik at du kan klippe den ut og prøve selv.
Oppgaven er altså: Klipp ut brikkene nedenfor og legg de sammen til et kvadrat! (Klikk på bildet for å få fram en større versjon, bedre egnet til å klippe ut).

Jeg tror de fleste får det til etter å ha satt av noen minutter, men hvis ikke kan jeg lage en løsning på oppfordring :) God helg!

Noen lenker...

2011-06-09T13:35:00.000+02:00

...som har med utdanning og undervisning å gjøre :)

Kommer fjernundervisning til å ta over all undervisning?
http://www.distanceeducation.ws/

En diskusjonsside om den glimrende boka "A mathematician's Lament" av Paul Lockhart: http://mathfuture.wikispaces.com/MathematiciansLament

En gang i tiden studerte jeg sammen med denne karen, Asle. Her har han et blogginnlegg om ulovlig netttilgang ved eksamen: https://asleklock.wordpress.com/2011/06/08/flere-tusen-eksamensoppgaver-lost-med-ulovlig-tilgang-til-internett/

Superfreakonomics

2011-06-05T14:45:00.001+02:00

For noen år siden leste jeg boka Freakonomics av Levitt og Dubner. En usedvanlig artig måte å få bittelitt bedre innsikt i hvordan verden henger sammen. Har du lest bøker av Malcolm Gladwell så har du omtrent sjangeren der.
I 2009 kom oppfølgeren, Superfreakonomics. Om den er mer super enn forgjengeren skal være usagt, men uansett er også denne veldig underholdende og informativ å lese. Boka har et eget nettsted du kan se på for mer informasjon. Der kan du finne study guides, informasjon om podcast m.m. Det har også blitt lansert en dokumentarfilm med samme navn.

Boka tar for seg forskjellige samtidige problemstillinger og gir en slags sosio-matematikk-økonomisk analyser av disse. Blant annet går de inn på global oppvarming, farene ved bruk av setebelte og barneseter, selvmorsbombere med livsforsikring, hvorfor man kan bli rik av å starte opp med prostitusjonstjenester og mye annet.

I forordet sies det at "Hvis man finner ut hva som er menneskers insentiver til å handle, så vil man i stor grad kunne forutsi hvordan de handler". Og det er dette det dreier seg om i stor grad. For eksempel, hva er motivasjonen en megler har til å ha en andre visning av boligen din? Som selger vil du sannsynligvis ha større og større sjanse til å få en bedre pris for boligen din, jo flere visninger du har. Mens en megler ikke vil tjene så mye mer på den eventuelle prisøkningen at det er bryet verdt å avertere mange ganger og avholde mange visninger. Altså vil man i følge økonomene bli rådet til å ikke dra ut et salg i mange visninger, selv om man i det lange løp ville tjent penger på det.
Boka bruker lang tid og mye plass på å gå ganske grundig i mange liknende problemstillinger. Du finner disse to bøkene også oversatt til norsk, f.eks. hos Haugen bok. I tillegg fins illustrerte utgaver og Kindle-utgaver, for den som er interessert i å slippe lagring av støvete papirstabler ;) Perfekt ferielektyre, altså.
(Bildet er hentet fra nettstedet til boka).

Mine fire første mattespill, 3

2011-06-04T10:37:00.000+02:00

I serien/spillet "Mine fire første mattespill" har vi kommet til nr. 3. Dette spillet går ut på å gjenkjenne både figurer og utseendet til øynene på en terning.

Først kaster man terningen, også henter man en brikke med like mange øyne som terning viser. På hvert brett er det tre felter for hvert antall øyne, slik at det er 18 totalt.

Et forholdsvis enkelt spill, med andre ord, men så er det ikke alltid at man trenger innfløkte regler for å spille et spill heller.
Matematikkinnholdet er her forholdsvis begrenset, det dreier seg om å telle øyne på terningen, og å gjenkjenne mønsteret prikkene ligger i på brettet. Feltene på brettet har omriss som trekanter, firkanter og rundinger, men jeg er ikke helt i stand til å se at dette skal påvirke spillet nevneverdig. Mulig det gjør det litt lettere å finne fram på brettet, så man slipper å telle over antall øyne på alle figurene, og det har jo en viss hensikt.

Pytagoreisk spiral

2011-06-03T11:41:00.001+02:00

Another day, another GeoGebra...

I ruta under ser du to punkter. Velg verktøyet lengst til høyre på GeoGebra-menyen (det som ser ut som en skiftenøkkel og skrujern (ikke spør...)) og klikk på de to punktene (det venstre først).
Det tegnes en trekant som har høyde 1. Fortsett prosessen med å klikke på de svarte punktene - først det svarte punktet som har vært på figuren hele tida, så det nyeste svarte punktet. Du får tegnet nye trekanter med høyde 1.

Hva blir lengden av hypotenusen i disse trekantene? For å lage en pytagoreisk spiral kan du gå ut fra at avstanden mellom de to opprinnelige punktene også er 1.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Hva betyr tredobbelt?

2011-05-20T21:10:00.003+02:00

Jeg spurte for en stund siden twitriverset om hva ordet "tredobbel" betyr, spesielt, hva er det tredobbelte av to?

Grunnen til at jeg spurte var at jeg i flere år hadde fått mange forskjellige svar på akkurat dette spørsmålet og jeg var ikke sikker på hva som egentlig var konvensjonen. I stedet for å sjekke oppslagsverk tenkte jeg det var morsomt å høre hva folk mente. Resultatene ble som følger (alternativet 16 ble dessverre ikke tatt med før litt uti undersøkelsen):

Som dere ser fra kommentarene til pollen, fikk jeg lenke til Bokmålsordboka, der det forklares at tredobbel er:

tre|dobbel(t): som er gjort tre ganger så stor som noe en t- porsjon
t- norsk seier seier med nordmenn på de tre første plassene

Mens jeg fra @apbordi på twitter fikk lenke til følgende forklaring (http://bit.ly/iLkqHl), der det forklares hva "å vinne tredobbelt" betyr. Her er det kanskje enda dårligere språk enn den vanlige betydningen, som vi muligens må innfinne oss med er... tredobbel = tre ganger...

Jeg har ført over avstmemningen til Google Docs, så du kan fortsatt påvirke resultatet :) Omlag 70 svarte i første omgang.
http://mattegreier.blogspot.com/2011/05/hva-er-det-tredobbelte-av-to.html

Bok: Logicomix

2011-05-16T14:07:00.003+02:00

Jeg burde kanskje bli flinkere til å skrive om bøkene jeg leser, hvis så fremt i fall de har betydning for matematikkundervisning i vid forstand.

Her om dagen leste jeg nemlig en tegneserieroman som heter Logicomix. Det høres kanskje litt useriøst ut, men som evig tegneseriesamler og -fantast ser jeg at det er mange som setter pris på slike anbefalinger også.
Boken er en slags tegnet versjon av en forelesning av filosofen og matematikeren Bertrand Russell, og hans søken etter fullstendig sannhet. Påskuddet for forelesningen er om man kan bruke logikk til å være helt 100 % sikker på om USA bør engasjere seg i krigen på engelsk side. I løpet av boka blir vi kjent med Russells liv og historie, hans berømte paradokser og selvmotsigelser samt med en rekke andre matematikere og filosofer. Her kan nevnes Wittgenstein, Frege, Cantor og Hilbert.

Dette er en leseopplevelse litt utenom det vanlige, og som jeg trygt anbefaler til alle som måtte ha et snev av interesse for matematikk, logikk og filosofi!

Boka har en egen hjemmeside, der du kan se smakebiter av romanen på http://www.logicomix.com/en/ og du kan kjøpe boka portofritt på play.com for en drøy hundrelapp (og det er billig!)

Hva er det tredobbelte av to?

2011-05-13T22:37:00.002+02:00

Vi er motsatt!

2011-05-07T13:12:00.002+02:00

Litt snedig dette, men det ser ut til at noen ganger velger vi å undervise/lære ting i motsatt rekkefølge av den de ble oppdaget i. Det høres kanskje ikke så rart ut egentlig? Men skulle man ikke tro at når ting blir oppdaget/funnet på i en bestemt rekkefølge så er det en grunn til akkurat det? Lære å krype før man kan lære å gå, sier noen. Bygge stein på stein, sier treneren til Sportsklubben Brann (uansett i hvilken sammenheng).

Integrasjon ble brukt lenge før man tenkte på antiderivasjon. Likevel er tradisjonen i skolebøkene at man velger å undervise derivasjon først, for så å gå løs på antiderivasjon, for SÅ å se at man kan finne arealer under grafer ved hjelp av integraler. Sterke krefter hatt tatt til orde for at man burde fulgt den historiske utviklingen her og heller begynt med integrasjon. Man kunne bruke forskjellige integrasjonsteknikker for å finne arealer under forskjellige grafer, gjerne for å løse praktiske (kvasi-)problemer. I så fall ville fundamentalteoremet, når det blir lært, komme som manna fra himmelen og vise hvordan matematikken kunne løse opp i vanskelige situasjoner. At integral kan finnes ved antiderivasjon er jo ganske langt fra opplagt!

Det samme gjelder i trigonometri. Der lærer vi som regel trekantdefinisjonene av sinus, cosinus og tangens, regner masse oppgaver med det, før vi omsider går over til sirkeldefinisjonene (og radianer som vinkelmål) og ser at det vi lærte om trekanter også føyer seg inn der. Men historisk sett holdt man på med periodiske fenomener før man lagde tabeller til å hjelpe seg med trekantberegninger.

Eller se for eksempel på det vi lærer om divisjon og multiplikasjon i grunnskolen. Barn utvikler tidlig en sans for rettferdig deling, og har forskjellige teknikker for å sammenlikne mengder og antall. De kan gjerne å fordele et antall godterier på flere, slik at man får like mange hver. Men setter vi dette inn i en skolekontekst så skal vi først lære oss multiplikasjonstabellen, slik at vi kan bruke denne baklengs til å løse delingsoppgaver.

I grunnskolen husker jeg vi holdt på med et fag som het matematikk, men først når man hadde gått et år på universitetet oppdaget man at det man hadde fylt fem timer i uka med i tolv år ikke hadde så mye med matematikk å gjøre. Så det var på'n igjen for å prøve og forstå matematikken fra begynnelsen av.

Kunne vi ikke bare gjort det riktig fra starten av?

Holmboeprisen

2011-05-06T13:54:00.001+02:00

På nyhetsmailen fra Norsk Matematikkråd tikket det i dag inn en hyggelig melding, nemlig at Sigbjørn Hals har fått årets Holmboepris! Denne prisen deles ut hvert år til en matematikklærer som har utmerket seg via sin undervisning og engasjement.

Har hatt stor glede av mye av det Sigbjørn har gjort, og han har også vært en av ildsjelene i utviklingen og oversettelsene av GeoGebra, som jeg ofte omtaler.

For den som ikke kjenner til Holmboe, så var han altså matematikklæreren til Niels Henrik Abel i sin tid. Holmboe fikk undervisningsstillingen på Katedralskolen i Christiania etter at hans forgjenger, Hans Peter Bader i 1817 slo en elev så hardt at han døde av det. Det gikk altså hardt for seg, og Niels Henrik Abel og hans klassekamerater var nok svært takknemlig for de nye impulsene!

Visste du forresten at vi også her i Trondheim har en Abels gate?

Vis større kart

Areal av sirkel (n'te gang)

2011-04-13T21:04:00.000+02:00

Lenker til en fin animasjon fra GeoGebra Applet Central i dag også:

http://geogebracentral.blogspot.com/2011/04/circle-approximation-graph.html

Slik jukser elevene (via NRK)

2011-04-11T23:13:00.000+02:00

– Juksingen har hjulpet meg mye. Med gode karakterer får jeg goodwill både hos lærerne og hjemme. Jeg er ikke stolt av det, men det gir meg bedre muligheter for å komme meg videre i livet, sier hun til NRK.no.

http://www.nrk.no/nyheter/distrikt/nordland/1.7583391

Abelprisen 2011

2011-04-07T16:55:00.000+02:00

Har glemt å gratulere årets vinner av Abelprisen! Denne prisen deles ut årlig av Abelkomiteen og premien er omlag seks millioner kroner. Så her er det penger å tjene for den som er tilstrekkelig dypt inne i matematikkens verden!
Årets vinner er John Milnor, og i likhet med de fleste matematikere har han ei ganske spartansk hjemmeside :).
Prisen får Milnor for sitt arbeide innen "banebrytende oppdagelser innenfor topologi, geometri og algebra." Så langt er jeg med, og så regner jeg med det er full stopp hvis jeg begynner å bla videre!

Nytt matematikkspill (Android)

2011-04-06T12:46:00.000+02:00

Har ikke fått testet dette enda, men det skal man alltids få gjort!

Math maniac er et spill der du raskt skal kombinere tall for å få et oppgitt måltall. Ser tilsynelatende ekstremt simplistisk ut dette spillet, men kan det være akkurat genialt nok til å være fengende?

Klassiker: Dudeneys snitt

2011-03-30T19:45:00.007+02:00

I "klassikerserien" tar jeg i dag for meg Dudeneys snitt (engelsk søkeord: Dudeney's dissection). Spørsmålet er enkelt, svaret vanskelig, og resultatet et klassisk puslespill. Den opprinnelige oppgaven var angivelig "Kan man dele en regulær trekant i biter slik at den kan pusles sammen til en regulær firkant?" (Altså fra likesidet trekant til kvadrat). Dudeney løste problemet i 1907 og viste at det gikk an å dele det i så lite som fire biter. Underst ser du trekanten, og ved å dra i glidebryteren kan du se hvordan bitene kan flyttes over til et kvadrat.

Du kan lese om denne nøtten mange steder, f.eks. i Den matematiske krydderhylle (Nils Kr. Rossing) og flere ganger i Tangenten:
http://www.caspar.no/tangenten/2005/t2005-4.pdf
og http://www.caspar.no/tangenten/2001/t2001-2.pdf, eller kanskje du vil se en YouTube-film om hvordan du kan lage den i tre?

Man kan tenke seg flere måter å flette dette inn i undervisningen, og det på mange nivåer. Fra det enkleste (Del ut puslespillbrikkene, se om elevene kan få til å lage både kvadrat og likesidet trekant) til mer avanserte (Kan man finne ut hvordan trekanten er konstruert?). Også mer tekniske ting som å lage en dynamisk versjon i GeoGebra (eller tre) kan være aktuelt.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Idas mattespill

2011-03-29T10:44:00.000+02:00

I serien "Mine 4 første mattespill", har vi kommet til nr. 2, Idas mattespill.

Dette spillet går ut på å kaste terning og flytte, og så bestemmer ruta man havner på hva som skjer. Kanskje ikke noen store bomber så langt. Havner du på bildet av en matematisk figur, så får du en brikke med den figuren på. Havner du på en pluss får du kaste en gang til og gå framover, havner du på en minus kaster du en gang til og går bakover. Igjen er det litt ullent i regelverket, om man egentlig trenger å komme seg dit det står mål eller ikke. Men det er ikke så farlig.

Læringsinnholdet går ut på å skulle kjenne igjen enkle former, og også holde oversikt på hvilke former man mangler. Når man har samlet alle fem har man vunnet. Og det er det som regel Mari som gjør. Det er ganske morsomt å se firåringen studere formene på figurene hun havner på for å se om de stemmer overens med de hun har liggende foran seg. Det er nesten så en kan se konseptene ta form. Bortsett fra det er det selvsagt telling, bruk av terninger og å kjenne igjen symbolene pluss og minus læringen i dette spillet går ut på.

Igjen slår det meg hvor lett det er å lage liknende spill selv og hvor lite som skal til for at ungene skal synes det er stas å holde på med. Dere oppfordres herved til å kjøpe "Mine 4 første mattespill" for å bli inspirert til å lage liknende selv!

Kjønn og læring

2011-03-23T09:41:00.000+01:00

Skal ikke rippe opp i Harald Eias hjerne-kjønn-identitet-iq-debatter her, men i dag postet Illustrert Vitenskap følgende artikkel i postkassa mi: http://illvit.no/spor-oss/laerer-jenter-og-gutter-forskjellig?utm_source=ILL_uge12_2011

Her står det en form for forklaring for hvorfor gutter gjør det bedre enn jenter i matematikk. Jeg bare lurer, er det ikke slik at jenter gjør det bedre i matematikk nå for tida?

Taylor Mali on what teachers make

2011-03-22T12:58:00.000+01:00

Etter tips fra Torkel, deler jeg denne i dag...

Finn koordinatene

2011-03-19T19:36:00.004+01:00

Denne GeoGebra-aktiviteten er inspirert av en liknende aktivitet på GeoGebra Applet Central. Den går ut på å dra den røde prikken til de oppgitt koordinatene. Trykk på F5 eller klikk på de blå dobbelpila øverst til høyre i GeoGebravinduet for å laste inn siden på nytt med nye koordinater. Hvis du dobbelklikker på GeoGebravinduet får du opp aktiviteten i sitt eget GeoGebra-vindu, og da kan du trykke F9 for å få nytt sett av koordinater.
Jeg har laget prikken ekstra stor, slik at denne fila fint kan brukes med SMARTboard. Aktiviteten kan passe fint som alternativ når elevene skal bli kjent med koordinatsystemet.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Mattespillet

2011-03-19T09:59:00.002+01:00

I esken "Mine første fire mattespill" er altså dette et av de fire spillene.

Her ser vi Mari og undertegnede prøve spillet. Det er enkelt nok til at en firåring greit kan forstå det. Reglene er: Kast terningen og flytt - havner du på stjerne får du en stjerne, havner du på spørsmålstegn trekker du kort, havner du på noe annet, skjer ingenting. Man skjønner kanskje at det er barn som har laget reglene, for kortene har ingen som helst betydning, de aller fleste av de sier f.eks. at du skal "Hopp to ganger" "Syng Mikkel Rev en gang" og liknende. Den som først har fem stjerner har vunnet.

Matematikkinnhold? Joda, her er det nok for det meste enkel telling som er i fokus. Noen av spillene i esken går bl.a. på å kjenne igjen mengder, men her er det nok bare det å skulle telle prikker på terningen og flytte tilsvarende antall ruter som er aktuelt. I tillegg er det altså noen av kortene som inneholder litt telling. Det å vite når man har vunnet er egentlig den største utfordringen. I firårsalderen skal man ikke forvente at man kjenner igjen tallmengden fem uten å telle. Prøv selv, hvor store mengder kjenner du igjen uten å telle? Klarer du å "se" at de ligger sju henslengte objekter på et bord bare ved et øyekast? Fire ser man vel helt greit, og mellom der et sted oppstår vanskene. Likevel er det verdifull trening for barn å skulle ha "kontroll" på en mengde og kanskje etter hvert oppdage at man ikke må telle over alle hver eneste gang for å bestemme antallet.

Mari teller prikker på terningen

Joda, morsomt for barna, for voksne
medspillere synes det nok litt meningsløst! :)

En tanke som slår meg når jeg ser hvor artig dette var for Mari, er at dette må være voldsomt enkelt å lage selv? Spillene er utformet etter en helt enkelt mal som likner på veldig mange andre spill. Kanskje kan ungene på barnetrinnet være med å lage sine egne spill? Det er en smal sak å lage slike kort med en kopimaskin (og lamineringsmaskin, om ønskelig). Slik kan ungene i klassen få et eieforhold til selve spillet, og kanskje bli mer motivert til å gi seg i kast med å øve på telling.

Pi-dagen!

2011-03-13T22:48:00.002+01:00

Vår forrige bil slet med dette med å finne pi:

Vi ser jo til og med at 14.20 var et ganske dårlig forsøk. Men det var jo egentlig unødvendig, ettersom det var så mange som hadde funnet denne verdien fra før. I dag er det faktisk pi-dagen! Gratulerer alle sammen! Dagen går selvsagt ikke upåaktet hen, og jeg minnes mitt første år som lærer da elevene stilte i slips og/eller kjole denne dagen. Du kan lese utfyllende artikkel i Wikipedia, eller gå inn på den offisielle (?) hjemmesida til pi-dagen. Det fins mange bøker og nettsteder om pi, en av de morsomste bøkene er The Joy of Pi, som også har et flott nettsted. Den norske boka Matematikkens krydderhylle har også et stort kaPIttel om jubilanten.

Dette nettstedet er på dansk, og har også en mengde trivia om pi. Må i tillegg ta med denne fra en av de mest brukte forfatterene i hovedoppgaven min, Tom W. Körner; http://plus.maths.org/content/what-area-circle.

Har du sett Requiem for a dream? Kanskje ikke like kjent og grandios er filmen denne regissøren laget før denne klassikeren. Det er nemlig en film som heter (du gjetter det nok..) "pi", og som handler om en som går litt fra forstanden over å finne mønstre i aksjemarkedet ut fra desimalene i pi. Se trailer her: http://www.youtube.com/watch?v=zQYYGwYTPuY

Youtube er full av andre pi-filmer, og andre videotilbydere har også sin andel: http://www.qwiki.com/q/#!/Pi_Day , http://www.collegehumor.com/video:1948828 er noen eksempler.

Det er mange merkelige steder pi dukker opp, jeg går ut fra at det skyldes sirkelen. Pi er som kjent definert som forholdet mellom omkrets og diameter av en sirkel, og sirkelen står historisk sett som en ganske "perfekt" form. Blant de rare måtene å finne verdien for pi på finner vi blant annet pilkast på sirkelskive og Buffons nåleeksperiment.

Et tidligere innlegg om pi fikk denne siden som kommentar: http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/

Da er det bare å glede seg til PI approximation day... mmm....pi...

Klassisk "bevis": Sirkelareal

2011-03-13T20:18:00.001+01:00

I årenes løp har jeg fått såpass mange spørsmål om arealformelen for sirkelen at jeg liksågodt legger ut en måte å forklare den på her. Denne måten å argumentere for formelen (for det er ikke noe formelt bevis) er nok den mest kjente og brukt i mange (de fleste?) lærebøker der temaet forekommer.

Sirkelens areal

Lysbildeserien er egentlig bare en slideshareifisert versjon av en litt større fil med flere arealformler og sammenhenger mellom og inni de. Synes det ble ganske bra resultat, men det var en plage å skulle lage nøyaktige animasjoner i PowerPoint...

For mye kalkulator

2011-03-11T21:23:00.000+01:00

http://www.aftenposten.no/nyheter/iriks/article4056765.ece

Litt vittig at en artikkel om at man må fokusere på forståelse, altså ikke kalkulatortrykking, blir akkompagnert av divisjonsalgoritmen. Attpåtil en amerikanifisert versjon, ser det ut til. For den vet vi jo at ungene skjønner alt om når de er ferdige med grunnskolen... Kunne ikke artikkelen like gjerne handle om at vi bruker for mye divisjonsalgoritme...?

(Var det ikke en artikkel for ca. 10 år sida der det ble slått opp med krigstyper at halvparten av ingeniørstudentene ved NTNU ikke klarte å dele to tall på hverandre for hånd?)

Polsk multiplikasjonsmagi

2011-03-10T10:23:00.004+01:00

Kom over denne via StumbleUpon:

Opp, opp og bort! (Eller up, up and away...)

2011-03-09T11:40:00.000+01:00

Denne posten ble publisert for et halvt år siden, men jeg republiserer i dag grunnet tillegget nederst :)
-----------------------------------------------------
Disney var konger av animasjon, og de holder fortsatt koken, om enn ikke like ofte. Filmen UP! (eller Se opp, som den heter på norsk) fra 2009 er en av de mest familievennlige og knallbra gjennomført animasjonsfilmene i den senere tid. Etter å ha gjort unna noen ekstremt vellagede og hjerteskjærende scener i første del av filmen kommer høydepunktet når Fredriksen stikker av fra alt ved å fly til værs med heliumballonger, bundet til huset sitt.

På Disneys hjemmesider kan du laste ned en fin-fin pdf som du kan printe ut, klippe ut og lime sammen til å lage ditt eget ballongdrevne hus.
Til høyre ser du den som Mari og jeg har laget og hengt opp på rommet!

Man blir jo nysgjerrig av sånt - hadde det gått an å sende et hus opp med heliumballonger? Svaret er "ja, selvfølgelig, om man har mange nok". Hvor mange trengs?

Vel.

Først og fremst må vi få et (veldig tilfeldig) anslag på husets vekt. Et gammelt nettstedoppslag fra 2007 (http://orakelet.info/5166) forteller oss at et standard hus på 100 kvadratmeter inneholder omtrent 45.000 kg. murstein, 80 kg. el. ledninger, 210 kg. rør, 1050 kg. takspon, 50 kg. spiker, 350 kg. gulv, og gulvbelegg, 1200 kg vinduer og dører og 17.000 kg. planker, kryssfinér og generelt tømmer. Det gir en totalvekt på 65 tonn. Jeg tar utgangspunkt i vårt eget hus, på omtrent 150 kvadratmeter fordelt på 2.5 etasjer (eller hvordan det nå skal regnes), slik at husets vekt blir 65 tonn $\cdot 1.5 = 97.5$ tonn. Vi sier hundre tonn.

I følge dette nettstedet kan en normal heliumsballong løfte omtrent 1.3 gram. Det vil si at det trengs $\frac{100 tonn \cdot 1000 kg/tonn \cdot 1000 gram/kg} {1.3 gram} = 7.69\cdot10^7$ ballonger. Eller ca. 77 millioner ballonger. Nå må man selvsagt også ta med at f.eks. ei litt tung bok trenger ca. fire-fem hundre ballonger ekstra for å lette osv, så dette tallet må oppjusteres kraftig hvis man skal telle med alt det vi samler sammen av skrot i løpet av et liv. Vi lar det ligge (både utregningen og skrotet). I filmen brukte animatørene i overkant av tjue tusen ballonger i scenen der huset tar av. Det vil si, man måtte ha hatt fire tusen ganger så mange for å få til dette i virkeligheten.

Tenk deg at vi kunne ordnet ballongene fint i rader og rekker på en fotballbane, da ville vi med vanlige ballonger (ca. tjue cm bred?) kunne få plass til ca. 525 ballonger i lengden og 350 i bredden. Da ville vi måtte lage stabelen 400-500 meter høy for å ha nok til å lette huset.

I tillegg måtte du nok ha regnet med ca. 12 år for å blåse dem opp, hvis du skulle blåst opp en ballong på fem sekunder.

Noen tok visst dette litt for bokstavelig og vi fikk Balloon boy hoaxen som var mye i media i 2009. Men det fins faktisk pålitelige kilder for at noen har vært dumme nok til å sette seg i en stol med tilstrekkelig helium rundt seg. Bare se på denne fra velkjente Darwin Awards: http://www.darwinawards.com/stupid/stupid1998-11.html

EDIT:
Det måtte komme noen som prøvde dette i praksis, og her er videoen som beviser det: http://www.vgtv.no/#id=38222. Riktignok et hus på et tonn og et crew på nok et tonn, men vi ser ideen :)

Klassiker: Arealbiten som forsvinner

2011-03-06T20:08:00.010+01:00

Det er klart for en ny klassiker her. Som vanlig fins det flere varianter av disse klassiske problemene jeg presenterer. Oppgaven under er også publisert som kvadrat-oppgave. Som du ser er arealet av øverste figur13*5 / 2 = 32.5. Ved å flytte rundt på brikkene så må arealet selvsagt bli det samme, så hvor i all verden blir det av den kvadratiske biten som mangler i bildet under?

Har ingen god referanse til originalen, dette bildet fins i utallige varianter på Internett.

Klassiker: Flytting av væske

2011-03-04T09:16:00.004+01:00

Nok en klassiker i dag! Se på denne videoen fra Dan Meyers eminente blog, dy/dan.

[WCYDWT] Coke v. Sprite from Dan Meyer on Vimeo.

Her flyttes først en mengde sprite over til colaglasset, så røres det i colaglasset, før den samme mengden blanding flyttes tilbake. Spørsmålet er da, er det mer, mindre eller like mye sprite i colaglasset, som det er cola i spriteglasset? Denne oppgaven har mange varianter, og jeg husker jeg så den første i gang i læreboka vi hadde i matematikk fagdidaktikk, der var det et eksempel med kaffe og melk. Det finnes andre varianter også. Et tips for å løse oppgaven kan være å bytte ut cola- og spritemolekylene med ti røde og ti blå baller :) Du finner nok svaret ved å slå opp i Dans blog og lese kommentarene til denne videoen!

Til den det måtte gjelde...

2011-03-03T12:48:00.000+01:00

Jeg har aldri eid en CASIO, men har rett som det er prøvd slike kalkulatorer. Som matematikklærer forventes det av elevene og studentene at man har full oversikt over verktøyene som fins og kjenner tastetrykkene ned til minste detalj. Vel, det gjør jeg ikke og det kommer jeg ikke til å gjøre. Jeg har ofte blitt spurt om CASIO-detaljer, og jeg har funnet denne ressursen, som min tidligere kollega Tor har skrevet, og den svarer på det meste!

http://www.kontorspar.no/images/casio_opplaering_2010.pdf

Zoom it med zoom.it

2011-03-02T08:47:00.001+01:00

Ikke spesielt matematikkrelatert kanskje, men følte for å dele denne ressursen likevel. På zoom.it kan du legge inn lenke til et stooort bilde som du har på nettet et sted, og bildet blir så gjort om til et skalerbart og zoombart bilde. Ganske snever funksjonalitet men det fungerer veldig bra til sitt bruk. Man kan kanskje se for seg at dette vil gjøre det enklere å navigere store bilder, grafiske framstillinger eller tabeller på et SMARTboard. Eller på en vanlig datamaskin i klasserommet. Fiffig måte å gå gjennom det periodiske systemet på, for eksempel.

Har ikke så mange store bilder tilgjengelig, men panoramaet av den kjære Meisingsetvågen er iallfall på rundt 21 megabyte. I panoramaet under kan du zoome og flytte rundt på bildet som du vil. Bildekvaliteten er ikke perfekt, men det skyldes nok at det ble tatt for hånd uten stativ.

Kan du lykkes i kombinert?

2011-02-28T21:06:00.001+01:00

Ja, det er VM, og nei, jeg er ikke spesielt interessert til tross for å bo i landsdelen som ser ut til å vinne hele beholdning av edelt metall. På http://www.nrk.no/sport/meisterskap/ski-vm-2011/nyheter/1.7528113 finner vi formelen som kan hjelpe deg til å regne ut om du vil kunne lykkes i kombinert. På ovennevnte nettsted finner vi at formelen trenger følgende variable:

SLIK BRUKER DU FORMELEN

Kfaktoren forteller deg hvor gode fysiske forutsetninger du har for å bli god i kombinert Det første leddet i formelen gir et tall på hvor god du kan bli på langrenn, mens det andre leddet gir deg et tall på hvor god du kan bli i hopp.

B= Hvor mange kilo du kan løfte i benkpress
L= Hvor mange kilo du tar i lårpress
k= Kondisjon. Mål hvor lang tid du bruker på å komme til hvilepuls etter aktivitet på melkesyreterskelniv (k=1/tid i minutter)
T= Smerteterskel. Skala på 1 til 3. 1 er normal og 3 er ekstremt god evne til å tåle smerte.
m= vekten din i kg.
A= Arealet av kroppen din. Skrives i kvadratdesimeter. Tegn gjerne rundt kroppen på stort ruteark.
S= Spenst. Kan måles ved spensthopp. Hvor høyt klarer du å hoppe og tegne en strek på veggen? Skriv i desimeter
F= Frykt. Angi på skala fra 0 - 3. 0 er pyse og 3 er fryktløs.
L_y= Lyst. Angi fra 0 - 100. 0 er ikke lyst i det hele tatt. 100 er dritlyst.

Da er man ikke sen om å lage en GeoGebra-versjon... Flytt gliderne til dine verdier!

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Terjes utfordring

2011-02-25T11:24:00.003+01:00

Det manglet ikke på dyktige, morsomme, men også ikke fullt så dyktige og morsomme lærere på Tingvoll videregående på det glade nittitallet. Som på de fleste andre skoler til de fleste andre tider. Læreren vår i norsk, Terje, ga oss denne utfordringen på stående fot i en norsktime en gang. Jeg aner ikke foranledningen, men det er mulig det bare var for å teste hvor lettkjøpte vi var. Han lovet nemlig ut personlig å gå på butikken og kjøpe en stor Stratos til den første som klarte å løse den. Så sikker var han på at dette var en vanskelig oppgave.

Oppgaven er som følger: På figuren under skal du lage en sammenhengende kurve som går gjennom alle linjestykker på figuren. Det vil si gjennom alle de 16 linjestykkene, og kurven skal bare passere gjennom hvert linjestykke en eneste gang.

Klarer du oppgaven?

Du kan lese om mye artig matematikkstoff i Per Hag (min supre veileder på hovedfaget!) og Ben Johnsens bok: Fra matematikkens spennende verden, Tapir, Trondheim, 1993. I artikkelen "Matematikk er kanskje ikke så dumt?” av Kari Hag og Henrik Martens finner du mer om akkurat denne oppgaven.

Oppgaven kan kanskje også egne seg fint for SMARTboard, for eksempel med det magiske blekket?

I Will Derive!

2011-02-24T08:08:00.000+01:00

Conceptis logic puzzles

2011-02-23T09:17:00.001+01:00

På denne sida kan du finne interaktive puslespill i samme sjanger som sudoku og kakuro. (Og du finner disse to typene også). Blant annet kan du spille Pic-a-pix der du skal lage et bilde ved hjelp av tilsvarende problemer som i Sudoku. Du finner også Battleships der. Hvem husker ikke dette spillet fra skolegangen da vi skulle lære oss (les: trene på) koordinatsystemet?
Det er noen år siden Sudokumanien kom til Norge. Norske aviser trykket slike fra 2005, mens det opprinnelig tydeligvis kom fra det japanske spillet Nikoli (som betyr enslig tall) i 1986 (tall fra wikipedia). Ikke bare tallet skal være enslig, men det ble tydeligvis også populært å ta med seg en sudokuoppgave når man skulle ha seg en enslig stund for seg selv også. I virkelige kniper kunne man i såfall ty til dopapir-versjonen, som du f.eks. kan få kjøpt her.

Det fins mange steder på nettet for sudokuoppgaver, både til å skrive ut og til å løse interaktivt på nettet, som på nettstedet nevnt i overskriften.
Min personlige favoritt har blitt Andoku, et flott sudokuspill for Androidtelefoner, der du finner spill i andre design enn det klassiske 9x9-kvadratet. Bildet til høyre er hentet fra Appbrain, og her ser du Squiggly Sudoku der det er litt tilfeldige former som skal fylles med tallene 1 til 9. Du finner dette og andre Sudokuspill i Android Market og Appstore på iPhone.

Skulle du være ute og kjøre kan du alltids ty til Google Goggles når du står helt fast. Jeg skrev også litt om denne app'en i et tidligere innlegg. Da kan du bruke telefonen til å ta et bilde av sudokuoppgaven du sliter med og få tallene fylt inn. Noe sier meg at dette ikke er en spesielt tilfredsstillende måte å løse oppgavene på... Ser for meg at telefonen min om noen år lager en trilliard sudokuoppgaver i sekundet for å så løse de på egen hånd. Sånn i kjedelige stunder.

Nettstedet Conceptis Logic Puzzles finner du her.

Og en liten vri her: http://threesixty360.wordpress.com/2011/03/14/if-its-pi-day-that-means/

En leksjon om livet og hvordan man lever det

2011-02-22T19:44:00.001+01:00

Lektor Gjøvik er relativt nyutdannet og har havnet i en matematikklasse på yrkesfaglig studieretning. Interessen for likninger er ikke akkurat enorm, og det er gjerne litt kjemping om oppmerksomheten (til og med før Facebook var funnet opp).

Lektor Gjøvik: "Og nå må dere huske, at dere bare lar loddeboltene ligge, og ikke avkjøler de i den iskalde svampbøtta, for da -"
Lasses loddbolt: "Psssssjjjjjjjjjj"
Lektor Gjøvik: "- som jeg skulle si, de kan bli ødelagt hvis de avkjøles for fort."
Lasse: "Jaja, har jeg nå gjort det nå."

Andregradsformelen

2011-02-15T06:01:00.002+01:00

The quadratic equation / AndregradsformelenEt fast innslag i matematikk er den berømte og beryktede andregradsformelen, også kjent som ABC-formelen. Denne er pensum i flere fag på videregående skole. Jeg lagde en gang følgende presentasjon for å visualisere oppbyggingen av formelen:

(Se flere her: presentations from Øistein Gjøvik.)

Det skal sies at den er mer fancy i PowerPoint enn på Slideshare ;)
Formelen er ofte introdusert på samme måte i alle norske lærebøker. Kom så over en interessant side hos SquareCirclez, der man tar en litt lettere vinkling (for mange). Se selv på : http://www.squarecirclez.com/blog/quadratic-formula-by-completing-the-square-easier-method/5670

Jeg syntes det var overraskende å få nye innspill på denne formelen som jeg bestandig så for meg som så veldig "fast" i alle lærebøker. Helt til jeg så i kommentarfeltet på ovennevnte post, der en herre, eller dame (?) ved navn Pat lenker til sin egen artikkel med tjue forskjellige måter å løse andregradslikninger på: Twenty ways to solve the quadratic.(pdf).

PlusMagazine hadde i 2004 en flott artikkel i to deler, som handlet om andregradslikningen. Du kan lese del 1 og del 2 av 101 uses of a quadratic equation her.

Det er aldri for sent å lære (ekstremt mange) nye ting...

EDIT 29.03.11: Tor Espen blogger om kvadratiske likninger her.

Ha en fin Allehjertersdag

2011-02-13T20:21:00.007+01:00

Bilde fra The How-To-Geek

Det er mange måter å markere Valentinerdagen/Valentinsdagen eller Alle hjerters dag, som sikkert er det beste navnet på norsk. Denne dagen, basert på en religiøs myte fra Kristendommen, kan du for øvrig lese mer om her og her. Nerder har sine måter å markere Alle hjerters dag, de også, og du finner mange av dem på nettet. En ressurs er for eksempel Romantic math. Eller hvorfor ikke en Darwin-schwung på gratulasjonskortet? For å gjøre det hele mer teoretisk kan vi se på hvordan vi kan tegne en hjertekurve i GeoGebra!

Et mulig funksjonsuttrykk for en slik hjerteform er $d\cdot \sqrt{|c\cdot x|}+\sqrt{b -a\cdot x^2}$. Vi kan ikke operere med kvadratrot i slike programmer, og i det bakerste rotuttrykket skal vi ha både den positive og den negative rota. Så vi er nødt til å dele opp rotuttrykket i en pluss og en minusvariant, altså funksjonene f(x) og g(x) i vinduet nedenfor. Prøv å endre på parametrene ved å dra i glidebryterne i vinduet under (dobbeltklikk på hjertet for å åpne det i GeoGebra):

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Microsoft Mathematics 4.0

2011-02-09T13:31:00.004+01:00

Vanligvis har jeg ikke så mye positivt å si om Microsoft. Mye tid ble brukt i studietida for å unngå å bruke Microsoft-produkter (Hallo, Internett Explorer var _helt_ forferdelig i de første utgavene, så da var det ingen vei utenom Netscape!). Fortsatt er det en del ting som er litt ubehagelig med Microsoft, f.eks. er det en stor jobb å gjøre en ny PC fri for all slags overflødige og mer eller mindre dårlige dusteprogrammer som bare gjør den langsommere. Til dette kan man for øvrig bruke sider som ninite eller pcdecrapifier , for å gjøre prosessen litt mindre strevsom. Velg programmene du vil ha eller ikke og la det stå til.

Men når dette er sagt må det også nevnes at jeg har fått litt bedre forhold til Microsoft etter hvert. Windows 7 var ikke så halvgærnt, og milevis over det litt forferdelige Windows Vista. Det som har gjort at jeg nå så smått har blitt litt fan, er at de gir bort gratis matematikkprogram! :) Jeg har tidligere skrevet om Microsoft Office Math Add-in. Anders Sanne og jeg skrev en artikkel i tangenten, og det var iallfall noen som fikk noe ut av det :D. Du kan lese artikkelen på hjemmesiden til Tangenten her: http://www.caspar.no/tangenten/2009/Gjovik-Sanne-409.pdf (pdf-format). Dette lille Word-tillegget gjør det greit å lage grafer, løse enkle likninger, trekke sammen uttrykk, osv inne i Word. Det er imidlertid litt begrenset hva man kan gjøre med dette tillegget.

Ikke desto mindre har Microsoft bestemt seg for å dele ut Microsoft Mathematics 4.0 helt gratis. Du kan laste ned hele pakken her.

Som noen sikkert har oppdaget er jeg stor GeoGebra-fan. Neste versjon av GeoGebra kommer til å inneholde både CAS og 3D-grafregner. Så har dette tilbudet fra Microsoft noe utover det? Vel, kanskje ikke akkurat MER, men en litt annen tilnærming. Blant annet ser det ut til å være greit å plotte flater (dette kommer også i GeoGebra, ser det ut til):

Programmet har tilsynelatende et mindre anstrengt forhold til syntax enn tilsvarende programmer. I eksemplet over skrev jeg kun uttrykket rett inn. Oppførselen til inntastingsfeltet er ganske lik den du finner i formeleditoren til Word. MM formaterte det riktig, oppfattet uttrykket som z(x,y) og spurte i tillegg om jeg ville finne deriverte, integrere, eller plotte uttrykket i tre dimensjoner.

Programmet har noen spesialfunksjoner innbygd, for eksempel konvertering mellom enheter og formelsamling. En "trekantberegner" er også med, der du legger inn det du vet om trekanten og programmet forsøker å finne resten.
Jeg prøvde meg på å skrive inn to likninger med to ukjente. Ikke bare regnet programmet ut svaret, men man kan velge å få løsningen trinn for trinn med matriser, med substitusjon eller med eliminasjon. Fiffig.

Flere litt uvante funksjoner finnes. Jeg kan velge og skrive inn for hånd (kjekt på SMARTboard og på tablets). I bildet under har jeg skrevet på skjermen på min tablet-PC og programmet tolker det som et uttrykk med matematikk.

Et kjapt trykk på ENTER og man kan velge å tegne opp uttrykket grafisk:

Om dette programmet er noe jeg velger å bruke er jeg litt usikker på. Stort sett klarer jeg meg lenge med GeoGebra og wxMaxima, kanskje forsvinner også wxMaxima sitt domene når GeoGebra utvider repertoaret til også å inneholde CAS. Microsoft Mathematics har et stort fortrinn overfor wxMaxima i umiddelbar tilgjengelighet. Om det er nok til å friste feinschmeckerne skal være usagt.

Clone Wars

2011-02-07T15:47:00.000+01:00

Det undervises også i Star Wars-universet. Skal man tro denne serien er det fortsatt forelesninger som er sjangeren, og elevene sitter med sine litt fancy versjoner av iPads og tar notater (eller ser på intergalaktisk facebook). Det hjelper altså ikke å være i en galakse langt, langt unna, for lenge, lenge sida, pedagogikken som beviselig ikke virker har man fortsatt ikke fått bukt med!

(Turte ikke sette inn bilde av dette, grunnet copyrights..)

Oystein Johannessens blog: Bectas nettsted stenges ned i dag

2011-01-31T10:45:00.000+01:00

Oystein Johannessens blog: Bectas nettsted stenges ned i dag

Rett og slett synd å lese at BECTA legger ned nettstedet sitt i dag. Brukte denne ressursen mye under tidligere arbeider, og det er solid informasjon for alle som har drevet noen som helst form for forskning innenfor teknologi og samfunn.
Anbefaler for øvrig Øystein Johannessens blog, mye interessant lesning!

Annoyances.org

2011-01-30T14:48:00.002+01:00

Ja, det er en reell nettadresse der i headingen, et nettsted som tar for seg irriterende ting ved datamaskina og gir deg forslag til løsning. Ikke så dumt. Her er den tingen som har ergret meg mest over lang tid. Tror faktisk det har ergret meg siden jeg først fikk Office 2007 ... i 2006.

Når du bruker formeleditoren er snarveien alt+shift+0 (null) for å slå den på. Grei skuring og det funker helt flott. Men litt avhengig av hvordan tastaturet ditt er, er det ikke alltid man treffer de tre tastene samtidig. Ofte, veldig ofte bommet jeg tydeligvis, slik at i stedet for å aktivere formeleditoren så slo jeg på et annet tegnsett eller noe sånt. Det medførte at ting som norske bokstaver, pluss, minus, skråstrek osv, ikke var der de skulle være lenger. Helt ubrukelig for å skrive en matematikktekst med andre ord.

Etter MASSE tråling på nettet, inkludert nettstedet nevnt i overskrifta (uten at jeg fant svaret der), så fant jeg omsider årsaken. Hvis man BARE trykker på shift og alt samtidig, så veksler man mellom forskjellige tegnsett. Før var det ingen råd utenom å restarte maskina for å komme tilbake til vanlig tegnsett, men nå kan jeg altså bare trykke shift+alt en gang til! Problem solved, case closed.

Ji-ha!

Korrelasjonskoeffisient

2011-01-27T00:01:00.000+01:00

Fikk et spørsmål om hvordan man finner korrelasjonskoeffisienten i GeoGebra, du vet, den berømte r-verdien!
Denne verdien bør ligge så nær 1 eller -1 som mulig for at en regresjon skal være best mulig. Du har sikkert sett den dukke opp etter en (vellykket?) regresjon på kalulatoren din. Denne r-verdien er kun definert for lineære regresjoner, så når du også ser den dukke opp på logistiske og eksponentielle regresjoner så skyldes det at det der utføres en lineær transponering først, slik at det kan utføres en lineær regresjon der også. En slik r-verdi har altså ingen mening på kurvetilpasning av f.eks. andregradsuttrykk.
I videoen under ser du hvordan du kan finne r-verdien til en regresjon i GeoGebra.

GeoGebra - Korrelasjonskoeffisient from Øistein Gjøvik on Vimeo.

Jenter best i realfag

2011-01-24T19:39:00.001+01:00

Avisen Agder - lokalavis for Flekkefjord, Kvinesdal, Sirdal, Lund og Sokndal · Jenter best i realfag

I følge rapporten "Jenter og realfag i videregående opplæring" er nå jentene best i de fleste realfag - det vil si - oppnår best karakter.

Du kan laste ned rapporten i sin helhet her: http://www.ssb.no/emner/04/02/30/rapp_201103/rapp_201103.pdf

Fra rapporten:

I realfagene på Vg2- og Vg3-nivå har jenter i all hovedsak bedre karakterer enn gutter, både til standpunkt og til eksamen. Til eksamen er det størst kjønnsforskjeller på matematikk for realfag på Vg3-nivå, der jenter gjennomsnittlig fikk i underkant av en halv karakter høyere enn gutter. Strykprosenten blant gutter på dette faget er svært høy, særlig til eksamen.

TI-86 - Android app on AppBrain

2011-01-18T19:27:00.002+01:00

TI-86 - Android app on AppBrain

For en som var Texas Instruments-nerd før konverteringen til GeoGebra og gratis-åpne-programmer, er dette et must. Her er en Android klone av TI86-kalkulatoren. Jeg synes nå forsåvidt den minner like mye om TI84, så forskjellen er jeg ikke helt sikker på.

EDIT:

Rett skal være rett, det var TI-83 som var den originale kalkulatoren jeg etterhvert brukte gjennom de fleste studier og undervisning (til tross for en affære med en HPGFX). Det kom raskt også en TI-83-emulator til Android, og den kan du laste ned her: http://www.appbrain.com/app/ti-83/net.supware.ti83 eller søke på TI-83 i Android Markedet.

Nok en GeoGebra-versjon

2011-01-14T21:07:00.001+01:00

Det er lansert flere versjoner av GeoGebra, jeg nevnte forleden GeoGebra(prim) som er en forenklet utgave for barn. En annen utgave er den som vil bli versjon 5 (vi har enda ikke kommet til nr. 4…), GeoGebra 3D.

Ved første øyekast er mye likt, men det har dukket opp noen nye menyvalg her og der på knapperaden.

CAS er nevnt I læreplanen, ved at man I R-studieretningen skal innom programvare som skal løse problemer algebraisk. Dette er relativt nytt I norsk skole, selv om det har eksistert verktøy for dette I årevis.

Det er kommet (minst) to nye valg for hva slags “modus” man skal være i. På bildet over ser vi CAS-modus. Dette er en del av GeoGebra som kan brukes til å løse algebraiske problemer. I eksemplet over skrev jeg inn en andregradslikning, og den ble automatisk løst. Syntaksen kunne jeg ikke, men akkurat dette eksemplet var helt likt slik det er I wxMaxima, Texas Instruments-kalkulatorer og mange andre CAS-programmer.

Det er ikke så mange slike matematikk-3D program som fins, men et alternativ er Google Sketchup. En funksjon fra det programmet ser ut til å ha blitt med I GeoGebra også, nemlig at man kan tegne en grunnflate og dra grunnflaten oppover for å lage prismer.

Blir spennende å se hvordan dette utvikler seg, det er foreløpig litt tidlig I utviklingen av programmet og det er ikke helt enkelt å vite hvordan riktig alt fungerer enda.

Du kan laste ned prøveversjonen av GeoGebra med 3D og CAS her: http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=52&t=19846

GeoGebra(prim)

2011-01-09T12:47:00.000+01:00

Nei, dette dreier seg ikke om et nytt og spesialdesignet meieriprodukt, men en nedskalert GeoGebra-versjon som er ment å passe for de minste som skal holde på med geometri i skolen. Her er det redusert på antall verktøy tilgjengelig, knappene og teksten er større en vanlig og det er en litt annen design i det store og hele, for eksempel for å endre farge på objekter. I tillegg er det noen små endringer, som f.eks. at vinkler automatisk velges å være mellom 0 og 180 grader.

Du finner GeoGebra(prim) på http://www.geogebra.org/webstart/4.0/GeoGebraPrim.jnlp

Mandala!

2011-01-06T00:24:00.001+01:00

Enhver julegave som bidrar til å øke mengden matematikkrelatert materiell i verden er selvsagt svært positivt i mine øyne. Nå er det ikke så mange slike gaver på en selv lenger, så da får en glede seg over barnas. Mari (3) fikk av sine besteforeldre et artig lite "spill" som heter Mandala designer classic. I boksen var det litt tusjer og sånt, samt en mønstermal som man kan rotere for å lage fine mønstre. Du kan sikkert finne mange forskjellige slike på diverse nettbutikker.
Her er det bare å finne fram fargene og lage matematikkoppgaver som egner seg til lærerutdanningen, med standardspørsmål som "Hvor mange symmetrier har denne figuren?"

Her er mitt første forsøk. Kunne blitt fint med litt mer farge!

Ja, selvfølgelig: Hvor mange symmetrier har denne?

Med litt øvelse, et nytt forsøk på tegning med (til en viss grad) friskere farger:

Her er elevene flinkest - adressa.no

2010-12-14T19:37:00.000+01:00

Her er elevene flinkest - adressa.no

Resultatene etter nasjonale prøver i regning.

Google goggles

2010-12-05T22:08:00.000+01:00

På telefonen har jeg rett og slett ikke plass til all verdens applikasjoner, og ikke vil jeg ha for mange å velge i heller. En av appene som jeg slettet da jeg rett og slett ikke så nytten, er Google Goggles. Men i dag fikk jeg faktisk bruk for den for første gang.
Da jeg skrev forrige post, om luringene som hadde oppdaget en simpel approksimasjonsmetode for integralregning (kjent i hundrevis av år i andre forsksningsfelt (og det burde også vært kjent med disse vitenskapsmennenes bakgrunn)) lette jeg etter et passende bilde å legge inn. Valget falt på dette:

Et slående og vakkert bilde som passer til situasjonen. Men fila jeg lastet inn het 1233253265.jpg, så det var ikke så enkelt hverken å finne ut om bildet var rettighetsbeskyttet, eller hva det het eller hvem som er avbildet. Google Goggles ble redningen. Jeg installerte appen på nytt, pekte telefonen mot bildet, og på under et sekund kunne telefonen fortelle meg at dette var bildet "Lesser Ury Leser mit Lupe". Og at det er tilgjengelig på wikimedia på adressen http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lesser_Ury_Leser_mit_Lupe.jpg

Så da skulle den saken være grei :)

Du kan hente Google Goggles i Android Market, eller på appbrain: http://www.appbrain.com/app/google-goggles/com.google.android.apps.unveil

Kanskje kunne de som "oppdaget" tilnærmet integrasjonsregning også prøvd seg på å "goggle" det de hadde skrevet...

Medical researcher discovers integration, gets 75 citations « An American Physics Student in England

2010-12-05T20:42:00.000+01:00

Medical researcher discovers integration, gets 75 citations « An American Physics Student in England

Denne la Svein Arne ut på sin Facebookside her om dagen. Det er lite som ikke er sagt i posten, og dette er kanskje ikke alles humor, men jeg syntes iallfall den var ustyrtelig morsom.

Det eneste som trekker ned er uvissheten om hvorvidt dette faktisk er sant eller ikke. ER det en spøk? Jeg klarte ikke å avsløre den, gjør du?

EDIT: Den ser vitterlig veldig seriøs ut, originalen kan du finne her: A mathematical model for the determination of total area under glucose tolerance and other metabolic curves. — Diabetes Care
For all del, det er ikke hverdagskost å finne opp approksimasjonsmetoder for matematisk analyse, men å kalle det forskning når man har oppdaget metoder som nevnes i videregående skole, og viderutvikles (for å si det mildt) i alle calculus/analyse-kurs, det henger ikke på greip. Finnes det ingen som helst form for kvalitetskontroll (jo, det gjør det!), eller kommunikasjon mellom faggrupper?

Slice it! På tide med en juleapp!

2010-12-04T13:55:00.011+01:00

Det er et stykke mellom matematikkspillene på disse telefonene, men noen er det da. Jeg tenkte å anbefale spillet Slice it i dag. Og før du maser, jada - det fins både på Android og Iphone/Ipod. Spillet går i korte trekk ut på å bli presentert for en enkel figur, hvor du har ett oppgitt antall kutt du skal bruke, for å dele figuren opp i det oppgitte antall deler. Disse må ha lik størrelse, men ikke nødvendigvis lik fasong.I de første brettene handler det om ganske enkle ting. For eksempel skal du dele et kvadrat i to like deler med ett kutt. Ingen utfordring der. Og litt senere skal du dele en runding inn i åtte like deler med fire kutt. Har du noensinne spist pizza burde ikke det heller være noen utfordring.

Men hva med slike figurer som i det andre bildet? Her har du mulighet for å gjøre ett kutt, og skal lage to like store biter. Jeg skal ikke avsløre svaret her, men det ligger et hint om kvadrater i luften, og da tror jeg det blir for enkelt... En første innskytelse kunne være å se på figuren som et papir som skal brettes i to, men man finner raskt ut at de to arealene da ikke vil være kongruente. Altså må man kutte slik at man får to forskjellige deler med likt areal.

Hvis du bruker for mange eller for få kutt, eller bitene blir litt for forskjellige i størrelse, får du passet påskrevet.

I neste bilde ser du hvordan en kan få godkjent et kutt, selv om den ene biten skiller seg ut litt. Det er altså en slingringsmonn her.

Spillet kommer i en slags juleversjon nå for tida, og du kan finne det i Android Market her: http://www.appbrain.com/app/slice-it/com.com2us.sliceit (via appbrain). Gratisversjoner finner du også i App Store eller Android Markedet.

Greit, det ser kanskje matematisk ut, med trapeser og sirkler osv, men er det virkelig matematikk involvert her?
Jeg mener absolutt det. For det første er det en veldig nyttig trening å skulle øve på øyemål, størrelser, forhold osv. I geometrien tegner man ofte hjelpefigurer før en konstruksjon (eller skisserer figurer på andre måter), og da er det lurt å kunne gjøre denne så nøyaktig som mulig. Dårlige figurer kan ofte lure oss, slik jeg begynte å skrive om i den ikke helt oppfulgte "Alle trekanter er likebeinte-posten".
For det andre er dette typiske oppgaver man også kan bruke i papirform, for å utvikle f.eks. brøktenkning og andre problemer med oppdelinger. Hver eneste av disse figurene i appen kan følges av gode oppfølgingsspørsmål. Hva slags figurer får man ved å dele trapeser diagonalt? Hvordan kan det hjelpe oss til å si noe om arealene? Eller hvordan kan man omforme trapeser for å lage ny figurer med like stort areal?
Og selvsagt er forståelse innen problemløsing fortsatt i hjertet av matematikken, og jeg tror mange rett og slett vil ha glede av å prøve seg på problemene i denne appen!

Det ser ut til å være en hel dunge med brett på dette spillet, så nok å henge hjernen i.

Once you slice, you can't stop slicing! :D

Tools of the trade

2010-11-26T20:28:00.000+01:00

Her forleden dukket en fin morsomhet opp i Google Reader. Det var alltid aktuelle, alltid morsomme Spiked Math som kom med denne utfordringen: http://spikedmath.com/339.html. Jeg kastet meg selvsagt over oppgaven, og kom fram til svaret til høyre. Morsomt, ikke sant? OK, hvis du IKKE har sansen for både Star Wars OG matematikk så er nok ikke denne spesielt artig, men jeg syntes iallfall den var hysterisk bra.
Jeg sjekket svaret på min litt utdaterte TI89 også, svaret ble som vist på displayet under:

Som lærerutdanner oppfordrer man - og jobber aktivt med - studentenes evner til refleksjon over egen undervisning og egen læring. Så da må man selvsagt passe på å analysere seg selv ved anledning også. Det er snart 20 år siden jeg var på Internett første gang, og litt over 15 år siden jeg regnet med symbolregner for første gang (En HP-48, som sikkert vekker minner hos mange). Jeg mener derfor at jeg har vært eksponert for teknologi ganske lenge, men LIKEVEL kaster man seg over papir og skriveredskap når en utfordring stirrer en i øynene. Hva kommer det av? Noen tanker rundt denne lille regneoppgaven som dukket opp i Spiked Math:

1. Papirversjonen forteller meg noe om hva matematikk ER. Det ser ut som matematikk, det er rotete, det SKAL være rotete. Math is messy! Det er i det rotet at tankene utvikles og begrepene formes, iallfall for mitt vedkommende.

2. Det jeg ikke kan se er at man LÆRER mer på den ene eller andre måten. Utregningene som ble gjort for hånd var fullstendig automatiserte for min del. Det er snakk om elementær kunnskap i integrasjon og innøvde algebraregler. Sånn sett er det ikke et fnugg mer matematisering i papirarket enn i kalkulatordisplayet. Kalkulatorversjonen av løsningen forutsetter like lite av matematisk kunnskap, MEN her måtte jeg likevel tenke etter (og prøve ut) om syntaxen er "uttrykk, variabel, øvre, nedre" eller "utrykk, nedre, øvre, variabel" eller en annen variant. Med litt godvilje kan man kanskje argumentere med at det meste logiske her (og dermed mest matematiske) er at syntaxen skulle være "Uttrykk, variabel, nedre, øvre". Man må jo fortelle hva som er dummy-variablen før man driver og putter inn verdier!

Papirversjonen viser likevel noe mer av prosessen med å finne svar på regnestykker, f.eks. å stryke like uttrykk med motsatt fortegn mot hverandre.

3. Den som virkelig fikk brynt seg, og virkelig fikk trent de matematiske evnene er Spiked math, som gikk inn i oppgaven "Hvilke integrasjonsgrenser og dummy-variable skal man bruke for å kunne integrere gullroboten i Star Wars og stå igjen med Søppelbøtteroboten (Unnskyld, droiden)?"

4. Erfaring gjør at man blir vant med forskjellige typer oppgaver. Man kan nesten mestre et uendelig antall oppgaver med et endelig antall verktøyer. Her hoppet jeg f.eks. rett på den antideriverte, uten noen refleksjon om hvorvidt den antideriverte eksisterer, om man må bruke substitusjonsmetoder eller liknende. Igjen en ren automatisk handling som følge av at man har sett mange slike oppgaver.

5. I stedet for å skrive ut uttrykket inni kvadratrottegnene lot jeg de stå åpne, rett og slett på grunn av latskap, og en visshet (?) om at senere kommer enten uttrykkene til å falle bort, eller opphøyes i andre.

Uansett, C-3P0 og R2-D2 er tøffest på film. (Bilde fra allposters.com)

Vil gi karakterer anonymt (bt.no)

2010-10-19T09:48:00.001+02:00

Vil gi karakterer anonymt - bt.no

Frp (iallfall Hanekamhaug) mener altså at karakterene blir mer rettferdige om man ikke vet hvem som skal få dem. Det kan synes vanskelig å argumentere mot et slikt syn, men skulle man gå over til anonymisering mister man en essenesiell del av vurderingen etter mitt skjønn.

Det er vel vanskelig å skulle lage f.eks. en vurdering som skal gå over hele fagprosessen. Alle som har tatt fatt på mappevurdering har fra tid til annen opplevd det som tidkrevende, og noen ganger har man kanskje heller ikke evnet å følge "postulatene" for mappevurdering. En eksamensform i tradisjonell forstand håndterer greit det å skulle vurdere den kunnskapen man måtte klare å rekonstruere der og da på en gitt eksamensdag, men dette er jo bare en liten del av en elev/students opparbeidete viten. En rettferdig prosessvurdering ser jeg for meg som svært utfordrende å skulle forholde seg til anonymt.

Det virker som om politisk argumentasjon når det gjelder skole, vurdering, resultater, testing osv, baserer seg på nøye inngrodde holdninger om hva dette skulle være. En slik holdning er ikke uvanlig - vi møter hele tiden foreldre, lærere og politikere som mener skolen skal være slik man selv opplevde den. "For det fungerte jo bra, gjorde det ikke?"
Nei, det er nok best å holde seg til gammelmåten: http://www.concurringopinions.com/archives/2006/12/a_guide_to_grad.html